Математика примеры решения задач курсовой работы Начертательная геометрии и инженерная графика

Математика
Дифференциальное исчисление
Интегральное исчисление
Ряды
Основы векторной алгебры
Начертательная геометрия
Аксонометрические проекции
Плоскости и их проекции
Конические сечения
Поверхности вращения
Позиционные и метрические задачи
Технические чертежи.
Компьютерная графика
История искусства
Готический стиль
Живопись Витраж
Античность
Искусство Византии
Барокко
АРХИТЕКТУРА РУССКОГО КЛАССИЦИЗМА
КЛАССИЦИЗМ В МОСКВЕ
Архитектура в Вене
Джованни Лоренцо Бернини
Франческо Борромини
Барокко во Франции
Барокко в Англии
РОМАНСКИЙ СТИЛЬ
Архитектура и скульптура готики
Собор Нотр-Дам в Париже
Реймсский собор
Готический стиль в Германии
Клаус Слютер
Готика в Нидерландах
Города и замки Германии
Рождение средневековой культуры
КАРОЛИНГСКОЕ ВОЗРОЖДЕНИЕ
РАСЦВЕТ СРЕДНЕВЕКОВОЙ КУЛЬТУРЫ
РАСЦВЕТ СРЕДНЕВЕКОВОЙ ГОТИКИ
Паломнические базилики
Бургундия
Северная Италия
Романика в Испании
Романика в Англии
Романская архитектура

Основы векторной алгебры. Аналитическая геометрия.

  • Числовые последовательности С понятием предела вы уже встречались ранее в школьном курсе математики при изучении геометрической прогрессии, длины окружности, площади круга. Мы рассмотрим это понятие заново, так как оно является фундаментальным в математическом анализе.
  • Предел функции Перейдем к понятию предела функции у = f(x) непрерывного аргумента х.
  • Правила предельного перехода Существуют правила, при помощи которых часто удается непосредственно находить пределы функций
  • Понятие непрерывности функции. Точки разрыва функции
  • Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [ – 6, 5].
  • Общая схема исследования функции. Построение графика Исследовать функцию  и построить ее график.
  • Точки разрыва функции. Асимптоты Для заданной функции найти точки разрыва и исследовать их характер: .
  • Предел функции Используя определение, доказать, что функция f(x) = 3х – 2 в точке х = 1 имеет предел, равный единице, т.е. .
  • Ряды

  • Числовые ряды. Необходимый признак сходимости ряда
  • Достаточные признаки сходимости рядов Исследовать на сходимость ряд
  • Знакопеременные ряды. Признак Лейбница Исследовать ряд  на сходимость.
  • Признаки сходимости числовых рядов с неотрицательными членами Пример. Выше было доказано, что ряд  сходится. Но при любом n имеет место неравенство , то есть . Значит, ряд  тоже сходится.
  • Пример. Найдем область сходимости ряда .
  • Степенные ряды Пример ..
  • Найти сумму степенного ряда
  • Применение рядов в приближенных вычислениях Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения. С их помощью вычисляют с заданной степенью точности значения: функций, определенных интегралов. Находятся приближенные решения дифференциальных уравнений. Вычислить приближенно , с точностью 0,01.
  • Функциональные ряды. Исследовать сходимость ряда .
  • Найти радиус сходимости ряда
  • Ряды Фурье. Коэффициенты Фурье Примеры на разложение функций в ряд Фурье
  • Ряд Фурье на произвольном интервале Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=x с периодом 21 на интервале (—2, 2). График функции, периодически продолженный на всю числовую ось.
  • Пример. Исследуем на сходимость бесконечную геометрическую прогрессию, т.е. ряд: .
  • Интегральное исчисление

  • Элементы интегрального исчисления Понятие первообразной. Основные правила интегрирования Пример. Вычислить .
  • Приведем правило интегрирования по частям Пример. Вычислить .
  • Интеграл и задача об определении площади
  • Вычисление определенного интеграла. Основные свойства . Вычислить .
  • Производная. Геометрический и физический смысл Дана кривая . Найти наклон этой кривой в точке, абсцисса которой равна 6.
  • Производные обратных тригонометрических функций Найти производные сложных функций: 1) f (x) = cos 6 (3x2 – 5); 
  • Методы интегрирования Найти интеграл
  • Интегрирование тригонометрических функций Пример. Найти
  • Определённый интеграл, его свойства Замена переменной в определённом интеграле
  • Геометрические приложения определённого интеграла Вычисления площадей плоских фигур Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции y = sinx и осью абсцисс при условии .
  • Несобственные интегралы Исследовать на сходимость интегралы:   т.е. данный несобственный интеграл сходится.
  • Понятие  двойного интеграла Вычислить  где область  ограничена линиями .
  • Приложения интегрального исчисления в экономике Найти объём продукции, произведённой за 4 года, если функция Кобба-Дугласа имеет вид .
  • Дифференциальное исчисление

  • Математические модели многих природных процессов и явлений можно достаточно точно описать с помощью дифференциальных уравнений. Рассмотрим пример: . Решение этого уравнения легко угадывается. Функция y = cosx при подстановке ее в уравнение обращает его в тождество:
  • Дифференциальное исчисление функций одной переменной
  • Основные правила дифференцирования функций Пример 1. Пусть дана функция . Необходимо исследовать поведение функции на интервале (–5, 1).
  • .
  • Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Пример. Найти общее решение уравнения .
  • Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Проверить, будут ли функции ; ; ; решениями дифференциального уравнения
  • Однородные уравнения Решить .
  • Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Решить уравнение .
  • Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Проверить, образуют ли функции  фундаментальную систему решений. Составить дифференциальное уравнение.
  • Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Метод Лагранжа Пример Решить уравнение
  • Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью Записать вид частного решения следующих дифференциальных уравнений: ;
  • Пример 30 Решить уравнение
  • Приложения дифференциальных уравнений в экономике. Найти выражение для объёма реализованной продукции , если известно, что кривая спроса  задаётся уравнением , норма акселерации , норма инвестиций , .
  • Найти уравнения кривых, для которых отрезок касательной между точкой касания и осью  делится пополам в точке пересечения с осью .
  • Пример. Оценить область существования и единственности решения уравнения  в прямоугольнике , удовлетворяющего начальным условиям:  при .
  • Найти общее решение дифференциального уравнения .
  • Найти общее решение уравнения .
  • Дифференциальные уравнения Бернулли Решить уравнение .
  • Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Пример. Найти общее решение уравнения .
  • Решить задачу Коши для уравнения , если , .
  • Дифференциальные уравнения, не содержащие явно независимой переменной
  • Составление дифференциальных уравнений Решение задачи прикладного характера обычно состоит из трех частей: составления дифференциального уравнения; решения этого уравнения; исследования решения.
  • Нахождение фундаментальной системы решений и общего решения ЛОДУ Решить уравнение .
  • Пример. Решить уравнение . Решение. Это ЛОДУ второго порядка. Составим характеристическое уравнение
  • Решить задачу Коши для уравнения , если , .
  • Принцип наложения (суперпозиции) Пример. Найти общее решение уравнения .
  • Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) Пример. Методом Лагранжа найти частное решение уравнения .
  • Понятие о системе дифференциальных уравнений и ее решении
  • Задача Коши для нормальной системы
  • Однородные линейные системы с постоянными коэффициентами всегда интегрируются в элементарных функциях, поэтому они представляют особый интерес для изучения.
  • Начертательная геометрии и инженерная графика

  • Учебная дисциплина «Начертательная геометрии и инженерная графика» даёт студентам знания, которые необходимы им для общения с техническими специалистами на специальном графическом языке. Дисциплина включает следующие разделы: начертательную геометрию, машиностроительное черчение (инженерную графику) и основы компьютерной графики.
  • Параллельная проекция и ее свойства Параллельная проекция является частным случаем центральной, когда центр проекций S удален в бесконечность.
  • Аксонометрические проекции Название аксонометрическая происходит от древнегреческих слов аксон – ось и метрио – измеряю. Метод аксонометрического проецирования состоит в том, что данная фигура вместе с осями прямоугольных координат, к которым она отнесена в пространстве, проецируется на некоторую плоскость проекций, называемую аксонометрической плоскостью проекций или картинной плоскостью. В зависимости от вида проецирования аксонометрическая проекция называется: центральной – используется центральное проецирование; параллельной – используется параллельное проецирование.
  • Ортогональная изометрия
  • Развитие геометрии Основные закономерности и свойства пространства, составляющие содержание элементарной геометрии, излагались еще до нашей эры в трудах греческих геометров. Особенно большое значение имели работы Эвклида, жившего в III веке до нашей эры
  • Проекции прямых Комплексный чертеж прямой линии
  • Комплексные чертежи прямых частного положения Как уже было отмечено выше, к прямым частного положения относятся прямые перпендикулярные или параллельные плоскостям проекций.
  • Взаимное положение точки и прямой Одним из свойств параллельного проецирования является свойство принадлежности: проекцией точки, лежащей на некоторой прямой, является точка, лежащая на проекции этой прямой. Отсюда следует правило: если проекции некоторой точки лежат на одноименных проекциях прямой, то такая точка расположена на этой прямой.
  • Взаимное положение прямых Две прямые в пространстве могут: совпадать; пересекаться; скрещиваться; быть параллельными.
  • Плоскости и их проекции Плоскость общего положения на комплексном чертеже
  • Плоскости частного положения на комплексном чертеже К плоскостям частного положения относятся плоскости перпендикулярные и параллельные плоскостям проекций.
  • Взаимное положение прямых и плоскостей В процессе проектирования и изготовления нового изделия инженерам часто приходится решать задачи, связанные с различными геометрическими объектами. Такие задачи делятся на метрические и позиционные. При решении метрических задач определяются различные геометрические величины: длины отрезков, углы, площади, объемы и т.п.
  • Пересечение прямой с плоскостью общего положения Задача на построение точки пересечения прямой с плоскостью общего положения является одной из самых часто решаемых на практике. Поэтому её называют первой позиционной задачей. Прежде чем рассмотреть алгоритм решения задачи в общем виде рассмотрим решение двух частных задач.
  • Проекции прямой, перпендикулярной плоскости При решении геометрических задач часто бывает необходимо строить перпендикуляры к плоскости. Это требует установления признаков, которые позволяли по чертежу судить о перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве и, наоборот, строить на чертеже прямые и плоскости, перпендикулярные друг другу в пространстве.
  • Взаимно-параллельные плоскости Для параллельных плоскостей справедливо следующее утверждение: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, эти плоскости параллельны друг другу.
  • Взаимное перпендикулярные прямые В связи с тем, что прямой угол между прямыми общего положения искажается на обеих плоскостях проекций, задачу на построение взаимно перпендикулярных прямых общего положения приходится сводить к задаче о перпендикулярности прямой и плоскости. При этом исходят из того, что две прямые взаимно перпендикулярны в том и только в том случае, если через каждую из них можно провести плоскость перпендикулярную к другой прямой.
  • Преобразование комплексного чертежа Решение многих геометрических задач на комплексных чертежах этих объектов часто усложняется из-за того, что заданные геометрические объекты расположены произвольно относительно плоскостей проекций и, следовательно, проецируются на эти плоскости в искаженном виде. Поэтому для более простого решения задач прибегают к преобразованию комплексного чертежа, которое переводит интересующие нас прямые и плоские фигуры из общего положения относительно плоскостей проекций в частное (прямые и плоскости проецирующие и уровня).
  • Основные задачи, решаемые одной заменой плоскости проекций С помощью одной замены плоскости проекций решаются четыре основные типовые задачи: прямую общего положения преобразовать в прямую уровня; прямую уровня преобразовать в проецирующую прямую; плоскость общего положения преобразовать в проецирующую плоскость; проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня.
  • Кривые линии Линии играют большую роль в науке и технике. Они позволяют установить и исследовать функциональную зависимость между различными величинами. С помощью линий удаётся решить многие научные и инженерные задачи, решение которых аналитическим путём часто приводит к использованию громоздкого математического аппарата. Кроме самостоятельного значения, линии широко используются при конструировании поверхностей различных технических форм.
  • Кривые линии на комплексном чертеже В начертательной геометрии кривые линии изучаются по их проекциям на комплексном чертеже. Положение точки, описывающей при своём движении некоторую кривую, определяется в любой момент движения двумя её проекциями. Поэтому в общем случае для полного графического задания кривой линии на комплексном чертеже необходимо задать две проекции этой линии (как правило, обе проекции являются кривыми линиями). В частном случае (когда кривая плоская) одна из проекций кривой может быть прямой линией.
  • Многогранники Классификация многогранников Многогранником называется тело, ограниченное плоскими многоугольниками. Элементами многогранника являются вершины, ребра и грани. Многогранник называется выпуклым, если весь он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани. Правильным называется многогранник, грани которого являются правильным многоугольником. Всего существует пять правильных выпуклых многогранников, которые первым исследовал и описал Платон, живший в V – IV веках до н.э. Поэтому эти многогранники называют также «Платоновы тела».
  • Поверхности являются самым сложным геометрическим объектом, изучаемым начертательной геометрией и инженерной графикой. Мир поверхностей безграничен. Он простирается от простейшей плоскости до причудливых поверхностей, используемых в архитектуре и скульптуре, от элементарного цилиндра до сложнейших по форме деталей авиадвигателя и т.п. Все, что нас окружает дома, машины, люди и т.д. – принадлежит к миру поверхностей. Поверхности в нашей жизни играют очень важную роль, особенно для инженера-конструктора, который должен знать и уметь, как сконструировать поверхность, чтобы она отвечала заранее заданным требованиям.
  • Способы задания поверхностей Поверхность, образованная каким-либо способом, считается заданной, если относительно произвольной точки пространства можно однозначно решить вопрос о ее принадлежности данной поверхности. Для поверхности, заданной на чертеже, это условие становится следующим: поверхность считается заданной, если по одной проекции точки, принадлежащей поверхности, можно построить вторую проекцию
  •   Поверхностью вращения называется поверхность, образованная в процессе вращения некоторой линии вокруг неподвижной оси. Линия, которая вращается, называется образующей поверхности. Образующая линия может быть прямой, плоской или пространственной кривой.
  • Поверхности вращения, образованные окружностью Вращением окружности можно получить следующие виды поверхностей вращения: сферу, если окружность вращается вокруг её диаметра
  • Линейчатой поверхностью называется поверхность, образованная при перемещении прямой линии в пространстве по какому-либо закону. Характер движения прямолинейной образующей определяет вид линейчатой поверхности. Обычно закон движения образующей задаётся с помощью направляющих линий
  • Линейчатые поверхности с 1-ой направляющей Если линейчатая поверхность задана с помощью одной направляющей линии, вместо недостающих двух направляющих необходимо задать два условия, которые должна выполнять прямолинейная образующая при своем движении.
  • Нелинейчатой поверхностью называется поверхность, образованная при перемещении кривой линии в пространстве по какому-либо закону. Вид нелинейчатой поверхности определяется формой образующей линии и характером её движения.
  • Классификация позиционных задач В процессе проектирования и изготовления нового изделия инженерам часто приходится решать задачи, связанные с различными геометрическими объектами. Такие задачи делятся на метрические и позиционные. При решении метрических задач определяются различные геометрические величины: длины отрезков, углы, площади, объемы и т.п. Геометрические задачи, связанные лишь с относительным расположением фигур в пространстве, относятся к позиционным.
  • Способ вспомогательных секущих сфер Использование сферы в качестве вспомогательной секущей поверхности основано на свойстве сферы пересекаться с соосной с ней поверхностью вращения по окружностям. Соосными называются поверхности вращения, имеющие общую ось. Две соосные поверхности вращения пересекаются друг с другом по окружностям, причем число окружностей равно числу точек пересечения меридианов таких поверхностей
  • Способ эксцентрических секущих сфер При этом способе вспомогательные сферы проводят из разных центров. порно, мультики
  • Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка В случае пересечения двух поверхностей второго порядка линией пересечения является кривая четвертого порядка, так как порядок линии пересечения равен произведению порядков поверхностей. В частных случаях эта линия может распадаться, причем особый интерес представляет случай ее распадения на пару плоских кривых второго порядка.
  • Конические сечения Пересекая прямой круговой конус секущими плоскостями можно получить в сечении различные кривые второго порядка.
  • Рассмотрим два примера на построение точек пересечения линии с поверхностью. Пример Построить точку пересечения кривой линии n с конической поверхностью
  • Развёртки поверхностей Представим поверхность в виде тонкой и гибкой, но нерастяжимой пленки. В этом случае некоторые поверхности можно постепенным изгибанием совместить с плоскостью так, что при этом не возникает ни разрывов, ни складок. Поверхности, обладающие этим свойством, называются развертывающимися, а фигура, полученная в результате совмещения поверхности с плоскостью – разверткой данной поверхности.
  • Способ триангуляции (треугольников)
  • Этот способ позволяет строить развёртки любого многогранника. Для этого боковые грани многогранника разбиваются диагоналями на треугольники (для призм и призматоидов, у пирамид грани уже треугольные). Одним из известных способов необходимо найти натуральные величины всех боковых ребер и оснований многогранника.
  • Построение приближенных разверток развертывающихся линейчатых поверхностей Для развертывающихся линейчатых поверхностей строят приближенные развертки потому, что в процессе построения развертки заданную поверхность заменяют (аппроксимируют) вписанной в неё или описанной вокруг неё многогранной поверхностью (цилиндрические поверхности заменяют призмами, конические поверхности – пирамидами).
  • Изображение проекций многогранников Многогранники представляют собой тела, ограниченные рядом плоскостей, т.е. гранями. Вследствие этого изображение их сводится к изображению ребер – линий пересечения граней и вершины – точек пересечения ребер.
  • СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА
  • Решение задач значительно упрощается, когда прямые линии, плоские фигуры, плоскости находятся относительно плоскостей проекций в частных положениях – прямые и фигуры расположены параллельно, а плоскости – перпендикулярно той или другой плоскости проекций. Для приведения геометрических фигур в положение наиболее выгодное, упрощающее решение задачи, начертательная геометрия располагает следующими способами. Способ замены плоскостей проекций
  • Способ вращения Сущность этого способа заключается в том, что при вращении вокруг некоторой неподвижной прямой, называемой осью вращения, каждая точка вращаемого геометрического образа перемещается в плоскости, перпендикулярно оси вращения, описывая в ней окружность, радиус которой равен расстоянию точки от оси вращения.
  • КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ Краткая классификация кривых поверхностей
  • Виды цилиндрических сечений В зависимости от положения секущей плоскости различают следующие сечения: плоскость, параллельная оси цилиндра, пересекает его поверхность по образующим; плоскость, перпендикулярная оси цилиндра, пересекает его поверхность по окружности; плоскость, наклонная к оси цилиндра, пересекает поверхность по эллипсу
  • Пересечение плоскостью общего положения прямого кругового цилиндра
  • ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С КРИВЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ Точки пересечения прямой линии с кривыми поверхностями определяются при помощи того же приема, который был применен для нахождения точек пересечения прямой линии с поверхностью многогранников
  • ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Все случаи пересечения поверхностей можно свести к следующему: частный случай. Одна из пересекающихся поверхностей является проецирующей (цилиндр, призма). Линия пересечения на одном из видов совпадает с линей - проекцией проецирующей поверхности; общий случай. Ни одна из пересекающихся поверхностей не является поверхностью проецирующей. Линия пересечения не определена ни на одном из видов; особый случай. Линия пересечения распадается на две плоские кривые.
  • Построение линии пересечения поверхностей способом секущих плоскостей
  • РАЗВЕРТЫВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ Разверткой называется плоская фигура, получаемая путем совмещения с плоскостью чертежа поверхности тела.
  • Развертка поверхности треугольной пирамиды Развертка боковой поверхности пирамиды состоит из трех треугольников, представляющих в истинном виде боковые грани пирамиды.
  • КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА
  • Развитие вычислительной техники, систем программирования и технических средств отображения графической информации с числовым програм­мным управлением привело к созданию средств автоматизированного конс­труирования, выполнения чертежей, генерации наглядных изображений – компьютерной графике.
  • Техническое и программное обеспечение систем компьютерной графики В состав комплекса технических средств компьютерной графики входят ЭВМ с периферийными устройствами, позволяющими осуществлять ввод, вывод и трансформацию графического изображения.
  • Создание чертежа любой сложности можно разделить на ряд последовательных этапов: создание – возможность выполнения проекционного чертежа; редактирование – возможность вносить изменения в разраба­тываемые чертежи; оформление – возможность нанесения на чертеж условных обозначений.
  • Создание чертежа в трехмерной системе При создании чертежей, связанных с построением различных поверх­ностей, целесообразно использование трехмерных систем. Поверхности образуются различными способами. Для целей компьютерной графики они могут быть разделены по способу получения: на элементарные геометрические поверхности, поверхности вращения, аналитические поверхности и поверх­ности произвольных форм.
  • Примеры решения некоторых типовых задач начертательной геометрии методами компьютерной графики Решение задач начертательной геометрии методами компьютерной графики является, безусловно, наглядным. Однако, для этого требуются базовые знания как самого предмета, так и навыков работы с графическими системами. Кроме того, каждая графическая система обладает, наряду со стандартными приемами работы, присущими среде Windows, и индивидуальными особенностями конкретной системы. С другой стороны, преемственность и аналогия современных программных продуктов позволяет достаточно быстро и легко осваивать новые графические системы.
  •