Начертательная геометрия

Решение позиционных задач с помощью преобразования комплексного чертежа

Как вы думаете?

В каком случае проще решается задача на пересечение конуса Г с плоскостью?

Многие позиционные задачи, главным образом, задачи на пересечение поверхностей с прямыми или плоскостями общего положения, удобно решать с помощью преобразования комплексного чертежа. В этом случае конечной целью преобразования является получение такой проекции оригинала, при которой участвующие в пересечении прямая или плоскость находятся в частном положении. Тогда в новом положении решение задачи значительно упрощается. При необходимости проекции общего элемента возвращают в исходный чертёж в обратном порядке.

Рассмотрим вышесказанное на конкретном примере.

Задача: Найти точки пересечения сферы с прямой а (рис. 4-62).

Рис. 4-62

Алгоритм:

1. Выбираем решающее положение оригинала. Оно должно быть таким, чтобы прямая а и окружность b на сфере S (рис. 4-63), лежащие в одной плоскости, оказались бы в натуральную величину. Для этого плоскость окружности Г должна быть плоскостью уровня. Выбираем способ замены плоскостей проекций.

Рис. 4-63

2. Так как плоскость Г- проецирующая, то требуется одна замена.

3. Решаем четвёртую задачу преобразования комплексного чертежа. Фиксируем систему П1 – П2, проводим базу х12.

4. Меняем П1 на П4. П4 ^ П2, П || Г Þ х24 || Г2.

5. От точки О2 проводим линию связи в системе П2 – П4 перпендикулярно Г2 и откладываем расстояние х24О4 = х12О1. Получили центр окружности b, и проводим окружность b4 радиусом R.

6. Проецируем прямую а на П4. Для этого на ней отметим точки 1 и 2 и откладываем расстояния: х2414 = х1211, х2424 = х1221. Получили а4.

7. Там, где а4 пересечётся с b4, будут точки M4 и N4.

8. Возвращаем точки M и N в систему П2 – П1 в обратном порядке по принадлежности прямой а (рис. 4-64).

Рис. 4-64

9. Видимость точек можно определить, например, так, как обычно определяют её на сфере: точка М2 расположена выше экватора Þ М1 - видимая, точка N2 - ниже экватора Þ N2 - невидимая. Точка М1 расположена ближе плоскости фронтального меридиана Þ М2 - видимая, точка N1 - дальше плоскости фронтального меридиана Þ N2 - невидимая.

Выводы:

1. Преобразование комплексного чертежа значительно упрощает решение метрических и позиционных задач.

2. При решении конструктивных задач важным моментом является выбор решающего положения оригинала.

3. Несмотря на разнообразие конструктивных задач, существует единый алгоритм их решения.

Контрольные вопросы

С какой целью применяется преобразование комплексного чертежа?

Как формулируются четыре основные задачи преобразования эпюра Монжа?

Изменяются ли эти формулировки в разных способах преобразования эпюра Монжа?

Сформулируйте основные правила замены плоскостей проекций.

Почему задачи 1-2, 3-4 решаются на одном чертеже? Как можно это прокомментировать?

Какими элементами в способе вращения можно распоряжаться произвольно?

Что происходит с точкой, лежащей на оси вращения, при вращении геометрических фигур?

Как вращаются остальные точки?

Можно ли одним вращением прямую общего положения поставить в проецирующее положение?

Как выбирают новую плоскость проекций относительно остающейся?

Как преобразовать плоскость общего положения в проецирующую?

Что называется "решающим" положением оригинала?

Начертательная геометрия Поверхности вращения