Математика примеры решения задач курсовой работы Дифференциальное исчисление

Математика
Дифференциальное исчисление
Интегральное исчисление
Ряды
Основы векторной алгебры
Начертательная геометрия
Аксонометрические проекции
Плоскости и их проекции
Конические сечения
Поверхности вращения
Позиционные и метрические задачи
Технические чертежи.
Компьютерная графика
История искусства
Готический стиль
Живопись Витраж
Античность
Искусство Византии
Барокко
АРХИТЕКТУРА РУССКОГО КЛАССИЦИЗМА
КЛАССИЦИЗМ В МОСКВЕ
Архитектура в Вене
Джованни Лоренцо Бернини
Франческо Борромини
Барокко во Франции
Барокко в Англии
РОМАНСКИЙ СТИЛЬ
Архитектура и скульптура готики
Собор Нотр-Дам в Париже
Реймсский собор
Готический стиль в Германии
Клаус Слютер
Готика в Нидерландах
Города и замки Германии
Рождение средневековой культуры
КАРОЛИНГСКОЕ ВОЗРОЖДЕНИЕ
РАСЦВЕТ СРЕДНЕВЕКОВОЙ КУЛЬТУРЫ
РАСЦВЕТ СРЕДНЕВЕКОВОЙ ГОТИКИ
Паломнические базилики
Бургундия
Северная Италия
Романика в Испании
Романика в Англии
Романская архитектура
  • Математические модели многих природных процессов и явлений можно достаточно точно описать с помощью дифференциальных уравнений. Рассмотрим пример: . Решение этого уравнения легко угадывается. Функция y = cosx при подстановке ее в уравнение обращает его в тождество:
  • Дифференциальное исчисление функций одной переменной
  • Основные правила дифференцирования функций Пример 1. Пусть дана функция . Необходимо исследовать поведение функции на интервале (–5, 1).
  • .
  • Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Пример. Найти общее решение уравнения .
  • Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Проверить, будут ли функции ; ; ; решениями дифференциального уравнения
  • Однородные уравнения Решить .
  • Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Решить уравнение .
  • Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Проверить, образуют ли функции  фундаментальную систему решений. Составить дифференциальное уравнение.
  • Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Метод Лагранжа Пример Решить уравнение
  • Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью Записать вид частного решения следующих дифференциальных уравнений: ;
  • Пример 30 Решить уравнение
  • Приложения дифференциальных уравнений в экономике. Найти выражение для объёма реализованной продукции , если известно, что кривая спроса  задаётся уравнением , норма акселерации , норма инвестиций , .
  • Найти уравнения кривых, для которых отрезок касательной между точкой касания и осью  делится пополам в точке пересечения с осью .
  • Пример. Оценить область существования и единственности решения уравнения  в прямоугольнике , удовлетворяющего начальным условиям:  при .
  • Найти общее решение дифференциального уравнения .
  • Найти общее решение уравнения .
  • Дифференциальные уравнения Бернулли Решить уравнение .
  • Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Пример. Найти общее решение уравнения .
  • Решить задачу Коши для уравнения , если , .
  • Дифференциальные уравнения, не содержащие явно независимой переменной
  • Составление дифференциальных уравнений Решение задачи прикладного характера обычно состоит из трех частей: составления дифференциального уравнения; решения этого уравнения; исследования решения.
  • Нахождение фундаментальной системы решений и общего решения ЛОДУ Решить уравнение .
  • Пример. Решить уравнение . Решение. Это ЛОДУ второго порядка. Составим характеристическое уравнение
  • Решить задачу Коши для уравнения , если , .
  • Принцип наложения (суперпозиции) Пример. Найти общее решение уравнения .
  • Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) Пример. Методом Лагранжа найти частное решение уравнения .
  • Понятие о системе дифференциальных уравнений и ее решении
  • Задача Коши для нормальной системы
  • Однородные линейные системы с постоянными коэффициентами всегда интегрируются в элементарных функциях, поэтому они представляют особый интерес для изучения.
  • Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде  

    Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

    Введем замену

    Задача 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

    Пусть

    Введем замену

    Задача 4. Найти решение задачи Коши.

    ,

    Пусть

    Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении относительно функции , находим

    Задача 5. Решить задачу Коши.

    Пусть

    Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении относительно функции , находим

    1)

    2)

    -общее решение ДУ.

    -частное решение ДУ.

    Задача 6. Найти решение задачи Коши.

    1) Пусть

    2)

    Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

    Задача 8. Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку.

    т.е. гипербола.

    Задача 9. Найти линию, проходящую через точку , если отрезок любой ее касательной между точкой касания и осью делится на точке пересечения с осью абсцисс в отношении   (считая от оси ).

    уравнение касательной.

    -координаты произвольной точки, принадлежащие касательной.

    По условию

    и  подобны.

    Точка принадлежит касательной, поэтому подставим координаты координаты точкив уравнение касательной.

    Подставим (1) в (2).

    Отсюда, уравнение искомой линии.

    Задача 10. Найти общее решение дифференциального уравнения.

    Замена:

    Предположим, что

    Пусть

    Задача 11. Найти решение задачи Коши.

    Замена:

    ,

    Задача 12. Найти общее решение дифференциального уравнения.

    -характеристическое уравнение.

    -общее решение однородного уравнения.

    Отсюда - частное решение неоднородного уравнения.

    Общее решение

    Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения.

    -характеристическое уравнение.

    -общее решение однородного уравнения.

    Отсюда - частное решение неоднородного уравнения.

    Общее решение

    Задача 14. Найти общее решение дифференциального уравнения.

    -характеристическое уравнение.

    -общее решение однородного уравнения.

    Отсюда - частное решение неоднородного уравнения.

    Общее решение

    Задача 15. Найти общее решение дифференциального уравнения.

    -характеристическое уравнение.

    -общее решение однородного уравнения.

    Отсюда - частное решение неоднородного уравнения.

    Общее решение

    Задача 16. Найти решение задачи Коши.

    -характеристическое уравнение.

    -общее решение однородного уравнения.

    Общее решение