Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Числовые последовательности

С понятием предела вы уже встречались ранее в школьном курсе математики при изучении геометрической прогрессии, длины окружности, площади круга. Мы рассмотрим это понятие заново, так как оно является фундаментальным в математическом анализе.

Рассмотрим функцию, у которой областью изменения аргумента является множество всех натуральных чисел 1, 2, 3,… . Такая функция называется функцией целочисленного (натурального) аргумента а = а(n). Значения функции, соответствующие значениям n = 1, n = 2, n = 3,…, обычно обозначают символами а1, а2, а3,…, аn,… и называют последовательностью. Значения а1, а2, а3,… называются членами последовательности, а формула, выражающая n-й член последовательности, – формулой общего члена.

Рассмотрим некоторые примеры последовательностей, заданных формулой общего члена:

1) или, что то же, –1, 1, –1,…;

2) или ,…;

3)

4) полагая  (n = 1, 2,…), т.е. каждый член последовательности, начиная с третьего, равен сумме двух предшествующих ему членов, получим последовательность Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5,…

Геометрическое изображение последовательности можно получить, если построить на числовой оси точки с абсциссами, равными величинам соответствующих членов последова-тельности .

На рис. 1 изображены последовательности  (а) и  (б).

 

Рис. 1

Введем некоторые определения.

Последовательность  называется ограниченной, если существует такое число М > 0, что для всех n верно неравенство .

Геометрически это означает, что все члены последовательности принадлежат интервалу (–М, М).

Последовательность, не являющаяся ограниченной, называется неограниченной.

Так, из приведенных ранее примеров последовательность  ограниченная, так как ; последовательность  – ограниченная, так как , а последовательности  и  неограниченные, так как при достаточно больших n модули членов этих последовательностей будут больше любого наперед заданного числа.

Предел последовательности

Число a называется пределом последовательности , если для любого, сколь угодно малого положительного числа  найдется такой номер N, что для всех n > N выполняется неравенство .

Из этого определения следует, что для всех номеров n>N (т.е. для n = N + 1, N + 2,…) верно неравенство .

Теперь можно сформулировать геометрически определение предела последовательности следующим образом: число a является пределом последовательности , если для любой  –окрестности точки а, начиная с некоторого номера , все точки попадут в эту окрестность, т.е. вне интервала  останется лишь конечное число членов последовательности (рис. 2).

Рис. 2

Приведем несколько примеров.

Пример 1. Рассмотрим последовательность . Общий член можно переписать так: . Интуитивно понятно, что эта последовательность имеет предел, равный 1. Действительно, . Для того чтобы  было меньше заданного положительного числа , необходимо только выполнение неравенства , которое следует из . Таким образом, по заданному  всегда можно указать такое , здесь [N] означает ближайшее целое число, не превосходящее , например [1,98] = 1. Так, если  = 0,06, тогда  и для всех номеров n>N будет выполнено неравенство , т.е. число 1 есть предел последовательности . Этот факт можно записать так: .

Пример 2. Последовательность , или  …, имеет предел, равный числу
a = 0. Докажем это. Действительно, . Из предыдущего примера следует, что  для всех номеров , т.е. в качестве номера N, за которым следуют номера членов последовательности, принадлежащих  –окрестности нуля , можно взять номер . Так, при  = 0,03 имеем N = 34, а при  = 0,006 номер N =167. Итак, как бы ни было мало число
 > 0, существует такой номер N, зависящий от , что  для всех n>N, т.е. .

Пример 3. Рассмотрим теперь последовательность с общим членом . Члены последовательности принимают значения, равные –1 либо +1, последовательность не имеет предела. Возникает естественный вопрос: как узнать – существует ли предел данной последовательности?

Чтобы ответить на этот вопрос, введем некоторые определения.

Последовательность  называется:

возрастающей, если ;

неубывающей, если ;

убывающей, если ;

невозрастающей, если .

Все такие последовательности называются монотонными.

Теперь сформулируем критерий существования предела последовательности.

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел (сходится).


Приложения интегрального исчисления в экономике