Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Приведем правило интегрирования по частям.

Пусть мы имеем интеграл , где подынтегральное выражение представляет собой произведение некоторой функции u(x) на дифференциал другой функции , т.е. , где u(x) и  предполагаются непрерывно дифференцируемыми.

Тогда имеет место формула  или, коротко, .

 

 

Рассмотрим на примерах, как применяется формула интегрирования по частям.

Пример 5. Вычислить .

Пусть u=х, . Найдем du, υ и подставим в формулу

.

Пример 6. Найти .

Пусть . Тогда: .

Имеется целый класс функций, интегралы от которых вычисляются именно с помощью интегрирования по частям. Например,  и другие.

Рассмотрим еще один класс функций, для которых интегралы вычисляются и являются элементарными функциями. Речь идет о рациональных функциях, которые представляются отношением двух многочленов. Напомним, что многочленом степени n называется функция вида , где .

Степенью многочлена считается старшая степень переменной x, входящей в многочлен. Так, многочлен  является многочленом степени n = 4.

Рациональной функцией, или рациональной дробью, называется функция , равная отношению двух многочленов. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена в знаменателе, т.е. R(x) – правильная дробь, если n<m.

Всякая неправильная рациональная дробь может быть представлена (простым делением числителя на знаменатель) в виде суммы многочлена и правильной дроби. Например,

Так как интегрирование целой части (3x–3) не представляет трудностей, то достаточно показать, как интегрируются правильные рациональные дроби, здесь .

К простейшим правильным рациональным дробям относятся следующие типы дробей:

причем в дробях 3-5 квадратный трехчлен не имеет вещественных корней, т.е. дискриминант .

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Правильная дробь R(x) допускает представление в виде суммы простейших дробей.

Так, например, покажем, что , и найдем интеграл.

Пример 7. .

Подберем A и B так, чтобы равенство выполнялось при любых значениях x:

,

т.е. .

Так как знаменатели в последнем равенстве одинаковые, то должны быть равны и числители

  (*)

при всех значениях x. Положим в равенстве (*) х = 0, получим А = –1, затем при х = –1 имеем
–В = 5(–1)–1.

Итак, A =–1, B = 6, а дробь ; интегрируя, получим:

.

Пример 8. Вычислить .

Применим тот же общий прием: представим подынтегральную функцию как сумму простейших дробей

.

Знаменатели самой левой дроби и самой правой совпадают. Для равенства дробей потребуем, чтобы совпадали и числители при всяком значении x: x + 3 = Вx + (A + 2B).

Последнее равенство возможно, если равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной x, т.е. B = 1, A + 2B = 3. Откуда A = 1 и

.

Пример 9. Вычислить интеграл от простейшей дроби .

Для этого сначала в знаменателе выделим полный квадрат:

.

Замена переменной t = x + 2, dt = dx сводит наш интеграл к табличному:

.

Мы обсудили в этом параграфе только некоторые приемы вычисления неопределенного интеграла (сведение интеграла к табличному, простейшие замены переменной, интегрирование по частям, интегрирование рациональных дробей). Изучение многих других приемов интегрирования не входит в нашу задачу.


Приложения интегрального исчисления в экономике