Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Интеграл и задача об определении площади

Заканчивая главу о первообразной, покажем, как понятие первообразной (неопределенного интеграла) теснейшим образом связано с определением площади плоской фигуры. Причем воспользуемся здесь интуитивным представлением о площади плоской фигуры, отложив точную постановку этого вопроса.

Пусть имеем непрерывную на отрезке [a, b] функцию f(x), принимающую лишь положительные (неотрицательные) значения.

Рассмотрим фигуру ABCD (рис. 24), ограниченную кривой y = f(x), прямыми x = a, x = b и отрезком оси 0X; такую фигуру называют криволинейной трапецией. Изучим вопрос о площади криволинейной трапеции. Для этого возьмем некоторую переменную точку x, лежащую на интервале [a, b], и рассмотрим площадь фигуры ABLK. При изменении x эта последняя площадь будет, очевидно, соответственно изменяться, причем каждому значению переменной x отвечает вполне определенное значение площади криволинейной трапеции. Поэтому площадь криволинейной трапеции ABLK является некоторой функцией от x; обозначим эту функцию S(x). Найдем (если это возможно) производную функции S(x) при изменении x. Для этого дадим x приращение (например, положительное) ; тогда площадь S(x) получит приращение . Обозначим m и M соответственно наименьшее и наибольшее значения f(x) на промежутке  и сравним площадь  с площадями прямоугольников  и . Очевидно,  или .

Рис. 24

Если теперь , то , вследствие непрерывности f(x) значения , ; существует предел . Таким образом, мы получили замечательный результат.

Теорема. Производная от переменной площади по переменной абсциссе x равна значению функции в этой переменной точке f(x).

Иными словами, переменная площадь S(x) представляет собой одну из первообразных – для данной функции y = f(x): .

Так как все первообразные отличаются друг от друга на постоянную величину c, то если F(x) какая-либо первообразная для f(x), тогда S(x) = F(x) + c.

Положив здесь x = a и считая (очевидно) S(a)=0, получим 0 = F(a) + c, c = – F(a).

Окончательно, S(x)=F(x)–F(a), где x – любая точка из интервала [a, b]. В частности, для получения площади всей криволинейной трапеции ABCD следует взять x=b:

.

Этот важный результат называют теоремой Ньютона-Лейбница. Мы еще встретимся с этой теоремой в дальнейшем: площадь криволинейной трапеции S равна разности значений (произвольной) первообразной F(x) в концах интервала [a, b].

Определенный интеграл

Вернемся вновь к задаче определения площади криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y=f(x), , прямыми x=a, x=b и отрезком оси OX.

Разобьем отрезок [a, b] точками  на n равных частей (рис. 25). Получим n “малых” отрезков ; длина каждого отрезка   обозначается , k=1, 2, …,n; в нашем случае длины всех отрезков одинаковы: .

Рис. 25

Проведя через точки деления прямые, параллельные оси 0Y, мы разобьем криволинейную трапецию ABCD на n малых криволинейных трапеций – полосок с площадью  (k=1, 2,…,n). Очевидно, площадь всей криволинейной трапеции ABCD

.

Эту последнюю сумму записывают так: , где греческая буква ∑ – это знак суммы, а символ  означает, что суммируются n слагаемых при изменении индекса k от 1 до n.

Заменим теперь площадь  малой криволинейной фигуры MLPQ (рис. 26) площадью прямоугольника MLPQ, равной . Искомая площадь S криволинейной трапеции приближенно равна площади ступенчатой фигуры:

.

Рис. 26

Очевидно, чем меньше длина промежутков ,тем точнее ступенчатая фигура приближает нашу криволинейную трапецию.

Будем теперь увеличивать вдвое число n точек деления, уменьшая вдвое длину интервалов разбиения.

Получим последовательность сумм

, (*)

где  – площадь ступенчатой фигуры из n прямоугольников. Естественно за точное значение площади S криволинейной трапеции принять предел последовательности  площадей ступенчатых фигур, когда  (при этом все длины   стремятся к нулю, ).

Сумма вида (*) называется интегральной суммой, а предел, к которому стремится последовательность интегральных сумм  при , если такой предел существует, называется определенным интегралом функции f(x) на отрезке [a, b] и обозначается символом  (читается – интеграл от a до b функции f(x)).

Итак,

.

Замечание. Мы рассмотрели здесь только частный случай последовательности интегральных сумм: разбиение отрезка [a, b] сделано так, что все   (k=1, 2,…,n) равны между собой,   , точки  являются правыми концами промежутка , а функция f(x) – непрерывна и неотрицательна. Вообще говоря, рассматриваются интегральные суммы более общего вида, а именно:

1) точки деления  выбираются произвольно, не обязательно на равном расстоянии друг от друга;

2) на каждом отрезке  длины  выбирается произвольная точка ;

3) сумму   называют интегральной суммой (Римана) для функции f(x) на отрезке [a, b];

4) определенным интегралом называется такое число I, которое удовлетворяет условию: для любого (сколь угодно малого) положительного числа E найдется такое положительное число δ, что при  и любом выборе точек  выполняется неравенство

.

Фактически определенный интеграл I является пределом интегральных сумм при стремлении к нулю всех отрезков разбиения, если этот предел существует и не зависит от выбора точек деления  и выбора точек .

Функции f(x), для которых определенный интеграл  существует, называются интегрируемыми (по Риману) на отрезке [a, b]. К таким функциям относятся любые непрерывные на [a, b] функции, а также кусочно-непрерывные, т.е. имеющие на отрезке интегрирования лишь конечное число точек разрыва первого рода. Очевидно, что интегрируемые на отрезке функции ограничены на этом отрезке.

Возвращаясь к задаче о площади, с которой мы начали, видим, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = f(x), где  на [a, b], численно равна определенному интегралу .

Этот факт выражает геометрический смысл определенного интеграла.


Приложения интегрального исчисления в экономике