Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Вычисление определенного интеграла. Основные свойства

Впервые со словом “интеграл” и символом  мы встретились, когда вводили понятие первообразной F(x) для функции f(x)и неопределенного интеграла. Решая в предыдущем параграфе задачу о площади криволинейной трапеции, мы получили определенный интеграл . (Символ ∫ происходит от вытянутой латинской буквы S, начальной в слове summa). Безусловно, это не случайно. Оказывается, с помощью неопределенного интеграла (первообразной) получен способ вычисления определенного интеграла. Для вычисления определенного интеграла применяется формула Ньютона-Лейбница:

,

где F(x) – одна из первообразных f(x), и определенный интеграл   равен разности значения первообразной F(x) в верхнем пределе интегрирования F(b) минус значение F(x) в нижнем пределе интегрирования F(a).

Вспомним, что при вычислении площади криволинейной трапеции в пп. 3.3 мы уже встречались с этой формулой.

Разность F(b)–F(a) символически обозначают .

Пример 1. Вычислить .

Вычислим сначала первообразную от , затем по формуле Ньютона-Лейбница:

.

Пример 2. Вычислить площадь S, ограниченную кривой  и осью 0X.

Начертим график параболы  и рассмотрим искомую площадь S (на рис. 27 площадь S заштрихована).

Рис. 27

Было показано, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной функцией f(x),  на интервале [a, b], вычисляется как . В нашем случае на отрезке [0, 2] функция , и искомая площадь может быть вычислена по формуле , так как  на отрезке [0, 2].

Итак, .

Основные свойства определенного интеграла:

1. .

2. .

3.   c – постоянная.

4. Если интервал интегрирования [a, b] разбит точкой c на части [a, b] и [c, b], то .

Геометрически выполнение свойства 4 очевидно (рис. 28).

Рис. 28

5. Если функция  на интервале [a, b], то . Если  и , то .

6. Если для всех  выполняется условие , то .

Геометрический смысл свойства 6 определенного интеграла показан на рис. 29.

Рис. 29

Доказательство всех свойств 1 – 6 очевидно следует из определения определенного интеграла.

7. Теорема о среднем значении определенного интеграла.

Если f(x) напрерывна на [a, b], то существует такая точка ξ внутри интервала , что .

Геометрически последнее утверждение означает: существует такая точка ξ на интервале [a, b], что площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = f(x), равна площади прямоугольника с основанием (b–a) и высотой   (рис. 30).

Рис. 30

8. Теорема об оценке интеграла.

Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а m – наименьшее, M – наибольшее значения функции на [a, b], то  и  (рис. 31).

Рис. 31

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 3. Вычислить .

Вычислим этот интеграл, сделав подстановку u = ln x, . Функция lnx и ее производная непрерывны на интервале (1, 2). При замене переменной в определенном интеграле отпадает необходимость возвращения к первоначальной переменной, но в интеграле следует поменять пределы интегрирования.

Положим x = 1, тогда u = lnx = ln1 = 0; если x = 2, то u = lnx = ln2, и новые пределы интегрирования по переменной u будут от u = 0 до u = ln 2:

.

Пример 4. Вычислить . Заметим, что подынтегральная функция y =sin x нечетная, а область интегрирования – отрезок, симметричный относительно начала координат. Из геометрических соображений такой интеграл будет равен нулю (рис. 32).

Рис. 32

Действительно,

.

Интеграл от нечетной функции на симметричном относительно начала координат отрезке равен нулю.

Если же функция y=f(x) четная (рис. 33), то .

Рис. 33

Пример 5.

или .

Интеграл от четной функции на симметричном относительно начала координат отрезке [–a,a] равен удвоенному интегралу по отрезку [0, a].

Рассмотрим, как применяется формула интегрирования по частям в определенном интеграле:

Пример 6. Вычислить .

Пусть u=x, . Тогда .

.

Мы ознакомились в этой главе только с основными понятиями интегрального исчисления. Многие методы вычисления первообразной, несобственные интегралы, приложения определенного интеграла, вопросы приближенного вычисления и др. не входят в круг рассмотрения этого пособия.


Приложения интегрального исчисления в экономике