Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Общие понятия и определения

Математические модели многих природных процессов и явлений можно достаточно точно описать с помощью дифференциальных уравнений.

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y=f(x) и ее производные :

.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется высший из порядков производных, входящих в это уравнение.

Так,   – уравнение первого порядка,   – уравнение второго порядка, а  – уравнение четвертого порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения называется функция , которая при подстановке ее в уравнение обращает уравнение в верное равенство (тождество).

Рассмотрим пример: .

Решение этого уравнения легко угадывается. Функция y = cosx при подстановке ее в уравнение обращает его в тождество: . Очевидно, что функция y =sin x также является решением этого уравнения. Легко проверить подстановкой в уравнение, что

,  (*),

где  – произвольные постоянные, является решением при любых  и . Следует отметить, что всякое решение нашего уравнения можно получить из формулы (*) при соответствующем выборе  и . Решение, записанное в виде (*), является общим решением уравнения, а y= cosx, полученная из формулы (*), при ,  – частное решение.

График кривой y=y(x), являющейся частным решением дифференциального уравнения, называется интегральной кривой.

Точное определение общего решения дифференциального уравнения и некоторые другие поня-тия, связанные с дифференциальными уравнениями, рассмотрим для уравнений первого порядка.

Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши

Теорема существования и единственности. Уравнение вида

называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Часто это уравнение записывается в виде , разрешенном относительно . Так, уравнение  есть уравнение первого порядка, здесь . Функция , где c – произвольная постоянная, удовлетворяет уравнению, т.е. является его решением.

Гиперболы, полученные при конкретных c, являются интегральными кривыми, а совокупность всех интегральных кривых образует однопараметрическое семейство интегральных кривых (рис. 34). Константа c является параметром.

Рис. 34

Из семейства интегральных кривых можно выбрать конкретную кривую (частное решение), проходящую через точку , . В общее решение  подставим координаты точки M и найдем соответствующее значение , с =6. Кривая   – искомое решение. Рассмотренная задача является задачей Коши.

Задача Коши для уравнения . Найти решение y = y(x) уравнения, удовлетворяющее начальным условиям  или .

Встает вопрос: всегда ли существует решение задачи Коши? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема (существования и единственности). Если правая часть уравнения   – функция f(x,y) и ее частная производная   определены и непрерывны в некоторой области D изменения переменных x, y, то какова бы ни была внутренняя точка   этой области, данное уравнение имеет единственное решение y=y(x), причем при ,.

В рассмотренном ранее примере , правая часть  удовлетворяет условиям теоремы всюду, кроме прямой x=0, область D – вся плоскость, кроме x = 0. Точка  =(2, 3) принадлежит области D, через эту точку проходит единственная интегральная кривая уравнения.

Общим решением уравнения  является функция y = y(x, c), зависящая от аргумента x и произвольной постоянной с, удовлетворяющая условиям:

1) при любых значениях постоянной c функция y = y(x,c) является решением уравнения;

2) для любой точки , лежащей внутри области D, существует единственное значение постоянной  такое, что .

Частным решением уравнения  является решение, полученное из общего y = y(x, c), при конкретном значении .

Общее решение дифференциального уравнения, найденное в виде  (не разрешенном относительно y), называют общим интегралом уравнения.

Способы интегрирования уравнений первого порядка

Операцию отыскания решения дифференциального уравнения называют интегрированием уравнения. Мы рассмотрим лишь два простых класса дифференциальных уравнений, для которых находится общее решение.

Уравнения с разделяющимися переменными. К таким уравнениям относятся уравнения вида , где .

Для интегрирования уравнение запишем в виде

.

Простыми преобразованиями перепишем уравнение так:

.

Переменные разделились: слева записан дифференциал некоторой функции от y, а справа – от x. Проинтегрируем обе части полученного уравнения:  или  – получили общее решение уравнения (возможно, в неявном виде).

Замечание. При делении уравнения на h(y) предполагается, что   (могли потерять решение уравнения).

Пример 1. .

Перепишем уравнение в виде .

Функции y =0 и y = –2  являются решениями уравнения. Остальные решения найдем, разделив переменные и интегрируя полученное уравнение:

.

Произвольную постоянную здесь удобно записать как . Тогда  или .

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Уравнение вида , где p(x) и q(x) – заданные непрерывные функции, называется линейным (функции y(x) и  входят в уравнение лишь в первой степени).

Решение этого уравнения будем искать в виде  или, коротко, , тогда ; подставив в уравнение, получим

.

Выберем множитель u(x) так, чтобы , тогда исходное уравнение сводится к интегрированию двух уравнений с разделяющимися переменными:

,  (1)

. (2)

Найдем решение уравнения (1). Пусть u(x) – некоторое решение. Подставим u(x) во второе уравнение и найдем его общее решение . Тогда общим решением исходного уравнения будет функция .

Пример 2. .

Ищем решение этого уравнения в виде . Имеем , .

Функцию u выберем так, чтобы

  (3)

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Решим это уравнение:

или

Функция  является решением этого уравнения. Функцию  находим из уравнения , подставив найденную функцию u = x2:

.  (4)

Вновь получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим , или . Общим решением этого уравнения будет функция .

Следовательно, все решения исходного уравнения определяются формулой   или .


Приложения интегрального исчисления в экономике