Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение

,

Где   – постоянные , называется линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

Решение этого уравнения будем искать в виде , тогда , . Подставив в уравнение, получим , так как , то функция  будет решением дифференциального уравнения, если r удовлетворяет алгебраическому уравнению

.  (*)

Последнее уравнение называют характеристическим уравнением для исходного дифференциального.

Уравнение (*) имеет два корня .

Рассмотрим возможные случаи:

1) при D > 0 уравнение (*) имеет действительные различные корни . Функции  – решения дифференциального уравнения, они образуют фундаментальную систему решений исходного дифференциального уравнения;

2) при D = 0 корни уравнения (*) действительные и кратные, т.е. , тогда фундаментальная система решений состоит из функций  и ;

3) при D<0 уравнение (*) имеет комплексно сопряженные корни , где , фундаментальная система решений состоит из функций.

Общее решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами есть линейная комбинация решений фундаментальной системы, т.е. , где  – произвольные постоянные.

Уравнение

называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами . Функция f(x) называется правой частью уравнения. Уравнение  с теми же коэффициентами   называют однородным дифференциальным уравнением, соответствующим данному неоднородному. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения Y(x) есть сумма общего решения соответствующего однородного y(x) и частного решения неоднородного :

.

Основная трудность состоит в нахождении . Однако существует простой способ нахождения частного решения  в том случае, когда правая часть f(x) имеет специальный вид. Способ этот заключается в подборе частного решения в зависимости от вида правой части (метод неопределенных коэффициентов).

1. Пусть правая часть уравнения имеет вид , где  – заданный многочлен степени m,  – действительное число.

Тогда частное решение  ищем в виде , где  – многочлен той же степени m, что и , но с неизвестными коэффициентами; k – кратность действительного корня α характеристического уравнения. Для отыскания коэффициентов  следует подставить  в исходное уравнение, поделить обе части на  и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х. Получим систему линейных уравнений для определения неизвестных коэффициентов .

2. Пусть правая часть дифференциального уравнения имеет вид , где  – заданные числа. Тогда частное решение  следует искать в виде

,

где A, B – неизвестные постоянные, k – кратность комплексных корней   характеристического уравнения.

Разберем несколько примеров.

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Решение. Составим характеристическое уравнение ; его корни  (можно найти по теореме Виета), им соответствует фундаментальная система решений (ФСР)  и общее решение имеет вид .

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение  или  имеет кратный корень , ФСР: , общее решение .

 

 

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение . Корни его найдем, используя общую формулу

.

Следовательно, . Корни характеристического уравнения комплексные  , а потому им соответствуют частные решения  и , составляющие ФСР. Следовательно, общее решение есть

.

Пример 4. Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами .

Решение. Характеристическое уравнение соответствующего однородного дифференциального уравнения  имеет вид , его корнями будут числа ; ФСР образуют функции , общее решение соответствующего однородного уравнения .

Частное решение исходного уравнения следует искать в виде , так как коэффициентом при  служит многочлен нулевой степени (, т.е. m=0), число   не является корнем характеристического уравнения (k = 0, k – кратность корня α = 5).

Итак, .

Подставим в данное уравнение , или , отсюда

12A = 1,  и .

Общее решение исходного уравнения .

Пример 5. Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения  имеет различные вещественные корни , а потому общее решение однородного уравнения .

Частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде , так как правая часть уравнения,

  и  не является корнем характеристического уравнения, k=0.

Подставим решение  в исходное уравнение (в колонке слева записаны коэффициенты при  в данном уравнении):

–2

1

1

или

.

Таким образом, имеем систему

,

т.е. A= –0,3; A= –0,9.

Получили частное решение .

Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид

.


Приложения интегрального исчисления в экономике