Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Функция. Предел функции

Методические указания

 Определение предела функции. Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке Х* и пусть точка  или .

 Число А называется пределом функции f(x), если для любого числа  существует число  такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

ПРИМЕР 1. Используя определение, доказать, что функция f(x) = 3х – 2 в точке х = 1 имеет предел, равный единице, т.е. .

Решение. Возьмем любое . Задача состоит в том, чтобы по этому  найти такое , при котором из неравенства  следовало бы неравенство . Преобразуя последнее неравенство, получаем , или . Отсюда видно, что если взять , то для всех ч, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Это и означает, что .

Свойства пределов

Теорема. Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке х0 пределы В и С. Тогда функции f(x)   g(x), f(x) * g(x) , и f(x) / g(x) имеют в точке х0 пределы, равные соответственно В  С, В*С, В/С, т. е. , , .

Замечание. Теорема верна также и в случае, когда х0 является одним из символов , .

ПРИМЕР 2. а) Найти

Решение. На основании выше изложенной теоремы, имеем .

 б) Найти

Решение. Пределы числителя и знаменателя  равно нулю:   Разложим квадратный трехчлен в числителе на линейные множители по формуле  где х1 и х2 – корни трехчлена. Разложив на множители и знаменатель, сократим дробь на х-3. Используя следствие 4, получим

.

Вопросы для самоконтроля:

Дать определение предела функции в точке.

Перечислить основные свойства пределов.

Вычислить предел 

 

Предел функции на бесконечности

3.  (а – любое число).

ПРИМЕР 3. Найти .

Решение. Имеем неопределенность . Непосредственно теорему применить нельзя. Необходимо, как говорят, раскрыть эту неопределенность. Для этого разложим числитель на множители и сократим на общий множитель х+2, который обращает в нуль знаменатель и числитель дроби. Получаем

 

Так как знаменатель теперь не равен нулю, то неопределенность   раскрыта.

Имеем

ПРИМЕР 4.

 

Вопросы для самоконтроля:

Как раскрывается неопределенность вида ?

Как раскрывается неопределенность вида ?


Приложения интегрального исчисления в экономике