Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Точки разрыва функции. Асимптоты

Методические указания

Определение. Если функция  при  имеет разрыв, то для выяснения характера разрыва следует найти предел функции  при  слева и справа.

В зависимости от характера поведения функции в окрестности точки разрыва различают два основных вида разрывов:

1) разрыв 1 рода – в этом случае существуют конечные пределы   и ;

2) разрыв 2 рода – в этом случае хотя бы один из пределов  и  не существует или бесконечен.

ПРИМЕР 5. Для заданной функции найти точки разрыва и исследовать их характер: .

Решение. Данная функция определена при всех значениях х, кроме х=3. Так как эта функция является элементарной, то она непрерывна в каждой точке своей области определения. Таким образом, единственной точкой разрыва служит точка х=3. Для исследования характера разрыва найдем левый и правый пределы функции при :

  и .

Следовательно функция  в точке х=3 имеет бесконечный разрыв, т.е. х=3 – точка разрыва второго рода.

Определение. Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении ее, от начала координат.

Различают вертикальные, горизонтальные, и наклонные асимптоты.

Вертикальные асимптоты. График функции у=f(х) при  имеет вертикальную асимптоту, если  или ; при этом точка х=а есть точка разрыва второго рода. Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид х = а (рис.3).

 

 

Горизонтальные асимптоты. График функции у=f(х) при  или при  имеет горизонтальную асимптоту, если  или . Может оказаться, что либо только один из этих пределов конечный, либо ни одного, тогда график имеет или одну вертикальную асимптоту, или ни одной. Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид y = b (рис.4).

Наклонные асимптоты. Пусть график функции у=f(х) имеет наклонную асимптоту . В этом случае справедливо равенство . Вынося х за скобки, получим . Так как , то отсюда получаем формулы для вычисления параметров k и b:

  и 

ПРИМЕР 6. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Точка х = 3 - точка разрыва второго рода данной функции, причем ; следовательно, прямая х = 3 – вертикальная асимптота.

Так как , график функции наклонных асимптот не имеет.

Находим горизонтальную асимптоту: . Таким образом, график данной функции имеет горизонтальную асимптоту у = 1.

Вопросы для самоконтроля:

1. Когда мы можем сказать, что функция имеет разрыв первого рода?

2. Когда мы можем сказать, что функция имеет разрыв второго рода?

3. Какие типы асимптот вы знаете?


Приложения интегрального исчисления в экономике