Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Производная

Производная. Геометрический и физический смысл

Методические указания

Приступая к выполнению контрольной работы необходимо изучить определение производной функции, правила дифференцирования. Изложим только основные понятия связанные с производной.

Определение. Производной функции у = f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции у = f(x0 + x) – f(x0) к приращению аргумента х = (х0+х)-х0, когда последнее стремится к нулю. Обозначается производная функции y’ = f’(x).

Итак, имеем

f’(x) =

Геометрический смысл

Определение. Производная функции у = f(x) при данном значении аргумента х = х1 равна угловому коэффициенту касательной  проведенной к графику этой функции в точке, абсцисса которой равна х1: , или 

ПРИМЕР 7. Дана кривая . Найти наклон этой кривой в точке, абсцисса которой равна 6.

Решение. Найдем производную этой кривой: .

При х = 6 получим .

Физический смысл

Определение. Средняя скорость изменения функции у для промежутка значений аргумента от х до х+ выражается отношением

Отношение  показывает, сколько единиц приращения функции приходится на единицу приращения аргумента.

Мгновенная (или истинная) скорость изменения функции при данном значении х есть предел, к которому стремится средняя скорость  при  в промежутке изменения аргумента от х до х+, т.е.

 Для линейной функции  средняя скорость  и истинная скорость  совпадают по величине и численное значение истинной скорости равно коэффициенту k.

ПРИМЕР 8. Найти среднюю скорость изменения функции у=3х2 – 6 при изменении х от х1=3 до х2=3,5.

Решение. Найдем приращение аргумента: =х2-х1= 3,5 – 3 = 0,5

Определим значения функции при х2 и х1: У1 = 3*32 – 6 = 21, у2 = 3*(3,5)2 – 6 = 30,75

Вычислим приращение функции: = у2-у1 = 30,75 – 21 = 9,75.

Находим среднюю скорость изменения функции: .

Основные правила дифференцирования

Если С - постоянное число, u=u(x), v=v(x)- функции, имеющие производные, тогда:

1.

2.

3.

4.

Формулы дифференцирования основных функций

(дифференцирование функции)

При условии

При условии

где n – любое действительное число

С’=0

Х’=1

где n – любое действительное число

ПРИМЕР 9. Найти производные функций: 1) f(x) = 5 + x3 + 3x2 + sin x + 2tg x; 2) f(x) = ; 3) f(x) = x sin x.

Решение.

1) f ‘ (x) = (5 + x3 + 3x2 + sin x + 2tg x) ‘ = (5)’ + (x3 )’+ (3x2 )’+ (sin x)’ + (2tg x)’ = = 3x2 + 6x + cos x + 2 / cos2x

2) f ‘ (x) = ( )’=  =  = = =

3) f ‘(x) = (x sin x)’ = (x )’sin x + (sin x)’ x = 1*sin x + x cos x = sin x + x cos x.

ПРИМЕР 10. Найти производную функции:

Решение.

Вопросы для самоконтроля:

Определение производной функции

В чем заключается геометрический смысл производной?

  В чем заключается физический смысл производной?


Приложения интегрального исчисления в экономике