Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Производные обратных тригонометрических функций

ПРИМЕР 11. Найти производную  функции f(x) = arcsin 2x, вычислить f ‘(-1/4).

Решение.

f ' (x) = (arcsin 2x)’=  =  =

f ‘ (-1/4) =  =  =

ПРИМЕР 12. Найти производную функции:

Решение.

]

Тема 2.4. Производная сложной функции

Методические указания

 Если имеется сложная функция у = f [ h(x) ], то yx’ = fh’(h) * hx’(x) – производная сложной функции.

ПРИМЕР 13. Найти производные сложных функций: 1) f (x) = cos 6 (3x2 – 5); 

 2) f (x) = ln ( x - ).

Решение.

1) Если обозначим функцию  cos (3x2 – 5) = u, то для нахождения производной используем формулу , где n=6, тогда получим

f ‘(x) = (cos6 (3x2 – 5))’ = 6× cos 5 (3x2 – 5) × (cos (3x2 – 5))’ 

 Теперь обозначим 3x2 – 5 = t и воспользуемся формулой , получим

(cos (3x2 – 5))’  = -sin(3x2 – 5) × (3x2 – 5)’ = -sin(3x2 – 5) × 6x, подставим в искомую производную функции:

f ‘(x) = 6 × cos 5 (3x2 – 5) × (-sin(3x2 – 5)) × 6x = - 36x × cos 5 (3x2 – 5) × sin(3x2 – 5)

2) Аналогично рассмотренному примеру обозначим x -  = u , тогда

f ‘(x) =   , получим

f ‘(x) = [ln ( x - )]’= (х -)’ =  × (1 – (1+x2)’)= 

= ×(1 – × 2x )= × =

Производные высших порядков

  Производная f ‘(х) называется производной первого порядка. Производная от f ‘(x) называется производной второго порядка (или второй производной) от функции f(x)  и обозначается y `` или f ``(x). Производная от f ``(x) называется производной третьего порядка (или третьей производной) от функции f (x) и обозначается y``` или f ```(x) и т.д.

 Производная n – го порядка есть производная от производной  (n – 1)-го порядка, т.е. .

 Производные начиная со второго порядка называются производными высшего порядка.

ПРИМЕР 14. Найти производную второго порядка от функции y = tg x

Решение.

y ` = (tg x)` =  

y `` = ()` =  =  =  =

Вопросы самоконтроля:

Как найти производную сложной функции.

Как найти производную второго и третьего порядка.

Перечислите основные формулы дифференцирования.

Приложения производной к исследованию функций.

Возрастание и убывание функции

Методические указания

Определение. Функция  называется возрастающей на промежутке , если для любых х1 и х2, принадлежащих этому промежутку и таких, что x1< x2, имеет место неравенство .

Определение. Функция  называется убывающей на промежутке , если для любых х1 и х2, принадлежащих этому промежутку и таких, что x1< x2, имеет место неравенство .

 Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности.

 Возрастание и убывание функции  характеризуется знаком ее производной: если в некотором промежутке , то функция возрастает в этом промежутке; если же , то функция убывает в этом промежутке.

ПРИМЕР 15. Найти промежутки монотонности следующей функции .

Решение. Находим производную ; имеем . Исследуем знак производной на интервалах  и  методом пробных точек. Последующие рассуждения представим в таблице. 


Приложения интегрального исчисления в экономике