Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Пример 1. Исследуем на сходимость бесконечную геометрическую прогрессию, т.е. ряд: .

Решение. Для этого ряда . Если , то выполняется равенство , а потому . Значит, при  исследуемая прогрессия сходится и ее сумма равна , значит и сумма ряда равна . Если , то , а потому и . В этом случае последовательность частичных сумм не имеет конечного предела, т.е. ряд расходится. Этот ряд расходится и при. В этом случае , а при  . Наконец, ряд расходится при , так как частичными суммами ряда  являются:

Последовательность а, где , не имеет предела, а это значит, что ряд расходится. Таким образом, ряд сходится для  и расходится .

Пример 2. Докажем, что ряд:  где , расходится.

Решение. Для этого ряда . Так как все члены этой суммы не меньше чем , а она состоит из n членов, то . Но при имеем  и, значит, . Расходимость ряда доказана.

Пример 3. Докажем, что сходится ряд:

и найдем его сумму.

Решение. Пользуясь известным разложением , находим, что .

Так как , то ряд сходится и его сумма равна 1.

Задания для самостоятельного решения.

Написать простейшую формулу п-го члена ряда по указанным его первым членам: ,

Решение. Исследуем закономерность, которой подчиняются числа, составляющие ряд. Каждый член данного ряда представляет собой дробь, числитель которой равен удвоенному номеру члена. Следовательно, ый член ряда будет иметь числитель, равный . Знаменатели дробей представляют собой арифметическую прогрессию, разность которой равна 3. Следовательно, знаменатель дроби го члена запишется формулой . Таким образом, простейшей формулой го члена данного ряда будет:

.

Написать простейшую формулу п-го члена ряда по указанным его первым членам:

1.

2. ,

3. ,

4.,

5.

6.

Записать ряд, используя знак суммы :

Решение. Так как любой член ряда может быть вычислен по формуле общего члена, то сначала запишем общий член ряда. Числитель дроби представляет собой последовательность натуральных чисел, а знаменатель дроби – арифметическую прогрессию с разностью равной 6, поэтому

.

Краткая запись данного ряда будет иметь вид:

Записать ряд, используя знак суммы :

1.

2. .,

3. ,

4.,

5. .

Найти сумму ряда:

Решение. Первый способ. Составим последовательность частичных сумм ряда:

Мы видим, что частичные суммы представляют собой дроби, числители которых равны индексу (номеру) частичной суммы, а знаменатели – удвоенному индексу, сложенному с единицей. Поэтому можно предположить, что .

Методом полной математической индукции докажем, что эта формула верна. В самом деле, имеем:

Таким образом, мы доказали, что

.

Переходя к пределу при , получим:

.

Следовательно, сумма данного ряда существует и равна .

Второй способ. Представим общий член данного ряда в виде суммы двух дробей, т.е. разложим дробь на простейшие, пользуясь методом неопределенных коэффициентов:

В этом тождестве мы приводим левую и правую части к общему знаменателю и отбрасываем его:

 или

Затем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений:

,

из которой находим:

 и .

Таким образом,

.

Представляя теперь каждый член данного ряда в виде суммы двух слагаемых, мы получим следующее выражение для ой частичной суммы:

.

Все слагаемые, кроме первого и последнего, взаимно уничтожаются.

Теперь находим сумму ряда:


Приложения интегрального исчисления в экономике