Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Предел функции

Перейдем к понятию предела функции у = f(x) непрерывного аргумента х.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки , т.е. в некотором интервале, содержащем точку , кроме, быть может, самой точки . В точке   функция может быть и не определена. Число A называется пределом функции f(x) при стремлении x к х0 , если для любого положительного числа E найдется такое положительное число , что для всех х, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Записывают:  или .

Это можно следующим образом проиллюстрировать геометрически: на оси 0Y возьмем   –окрестность точки А – интервал   и будем рассматривать все значения x из окрестности точки , для которых соответствующие значения функции f(x) не выходят из  - окрестности точки А (рис. 3).

Рис. 3

Пример 1. Докажем, что функция f (x) = 2x + 1 при  имеет предел, равный 3.

Для доказательства убедимся в том, что для любого числа  можно найти такое число , что для всех значений х, принадлежащих -окрестности 1, будет справедливо неравенство

.

Последнее неравенство можно записать так:  или, что то же, . Теперь видно, что если взять , то значения функции y = 2x+1 будут отличаться от 3 по абсолютной величине меньше чем на для всех , а это и значит, что .

Следует обратить внимание на то, что в определении предела не требуется, чтобы функция f(x) была задана и в “предельной” точке , нужно только, чтобы f(x) была определена для всех x в какой-нибудь окрестности точки , исключая, быть может, саму точку .

Так, например, функция  не определена в точке  =2, но имеет предел как при стремлении к этой точке слева, при , так и справа . Эти пределы функции называют соответственно левым и правым пределами функции и обозначают так:  и . В нашем примере эти пределы равны:

Итак, приведенная функция имеет конечные пределы справа и слева при стремлении к точке , эти пределы равны, но в самой точке функция не определена (рис. 4).

Рис. 4

1.4. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности (x →∞)

Пусть функция f(x) определена на всей числовой оси . Число А называется пределом функции f(x) при х→∞, если для любого  найдется такое число М > 0, что для всех  выполняется неравенство .

Записывают это так:  или .

Геометрически это означает, что для всех точек х, лежащих вне достаточно большого интервала (–M, M), значения функции у = f(x) содержатся в как угодно малой   -окрестности точки у = А (рис.5), т.е. график функции у = f(x) для всех  находится в E-полосе прямой у = А, при этом он не выходит за пределы полосы .

Прямая у = А является горизонтальной асимптотой кривой у = f(x).

Рис. 5

Не всякая функция имеет предел на бесконечности. Если функция неограниченно возрастает на бесконечности, то она, естественно, не имеет предела на бесконечности. Даже если функция ограничена, она может не иметь предела на бесконечности. Например, функция у = sinx при  изменяется от –1 до 1 и ни к какому пределу не приближается.

1.5. Бесконечно малые функции

Особое значение имеют случаи, когда при некотором изменении аргумента функция стремится к нулю.

Определение. Функция у = f(x) называется бесконечно малой при ( может быть число или один из символов ), если .

Пример1. Функция у = x – 5 бесконечно малая при , так как .

Пример 2. Функция  бесконечно малая при , так как .

Пример 3. Функция у = sin x бесконечно малая при , так как .

Нельзя смешивать очень малое число с бесконечно малой величиной! Каждое число, как бы мало оно ни было, конечно!

Нуль есть единственное число, которое рассматривается в качестве бесконечно малой величины.

1.6. Основные свойства бесконечно малых

1. Сумма конечного числа бесконечно малых функций при  есть функция бесконечно малая при .

2. Произведение постоянной на функцию бесконечно малую при  есть функция бесконечно малая при .

3. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую при   есть бесконечно малая функция при .

4. Произведение конечного числа бесконечно малых функций при   есть функция бесконечно малая при .

1.7. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые

Рассмотрим бесконечно малые (б.м.) функции  при . Для краткости будем обозначать эти функции просто z. β, γ. Часто сравнивают б.м. функции по “быстроте” стремления к нулю. Если , то говорят, что α – б.м. более высокого порядка малости, чем β. Обозначают так: . Например, функция  есть б.м. более высокого порядка, чем  при , так как . Если же , то говорят, что α и β – эквивалентные бесконечно малые величины. Записывают так: α ~ β.

1.8. Бесконечно большие функции

Функция  бесконечно большая при , т.е. , если для любого сколь угодно большого числа М > 0 найдется такое число , что для всех х, попадающих в окрестность , .

Функция   бесконечно большая при , т.е. , если для любого сколь угодно большого числа M>0 найдется такое число N>0, что для всех x таких, что , выполняется неравенство .

Всякая бесконечно большая функция является неограниченной, но не каждая неограниченная функция является бесконечно большой. Так, например, функция у = хsinх при   неограничена, но , предел этой функции при  не существует.

Легко показать, что функция, обратная бесконечно малой, есть бесконечено большая и, наоборот, величина, обратная бесконечно большой, есть бесконечно малая.

1.9. Связь предела и бесконечно малых

Функцию, имеющую предел, можно представить как сумму постоянной, равной ее пределу, и бесконечно малой величины.

Действительно, если , тогда для всех х, достаточно близких к , , где ε – как угодно малая положительная величина, а это значит, что функция  есть б.м. Следовательно, , где  – б.м.

Верно и обратное утверждение. Если функцию можно представить как сумму постоянной и бесконечно малой величины, то это постоянное слагаемое есть предел функции, т.е. если , где  – б.м. при , то .


Приложения интегрального исчисления в экономике