Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Признаки сходимости числовых рядов с неотрицательными членами

Пример 1. Выше было доказано, что ряд  сходится. Но при любом n имеет место неравенство , то есть . Значит, ряд  тоже сходится.

Пример 2. Так как ряд расходится, а при любом n имеем , то ряд  тоже расходится.

Замечание. Так как сходимость ряда равносильна сходимости любого его остатка, то члены рядов и можно сравнивать лишь, начиная с некоторого места (однако если  лишь при , то, вообще говоря, неравенство   может не иметь места).

Иногда удобнее применять другую теорему сравнения рядов с неотрицательными членами.

Интегрирование по частям Решение контрольной работы по математике.

Теорема 2. (вторая теорема сравнения рядов с неотрицательными членами). Пусть все члены рядов (А): и (В): неотрицательны и пусть существует конечный предел . Тогда при  оба ряда либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся. Если же , то из сходимости ряда (В) вытекает сходимость ряда (А), а из расходимости ряда (А) - расходимость ряда (В).

Пример 3. Мы знаем, что ряд сходится. Так , то и ряд  сходится.

Интегральный признак сходимости Коши

Пример 5. Докажем, что ряд  расходится при  и сходится при .

Решение. Функция удовлетворяет условиям теоремы, причем . Значит, ряд сходится или расходится одновременно с интегралом .

Таким образом, для исследования сходимости ряда достаточно рассмотреть предел первообразной F(х) для функции  при . При  

Если , то , и потому .

В этом случае интеграл, а тем самым и ряд расходятся. Если же , то , и тогда . В этом случае интеграл, а, следовательно, и ряд сходятся. Наконец, при  , а так как , то интеграл, а, следовательно, и ряд расходятся.

. Знакопеременные ряды

Рассмотрим ряды с членами произвольного знака или знакопеременные.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда (А):

Решение. Для ряда (А*), составленного из абсолютных величин рассматриваемого ряда, общий член . Применяем к ряду (А*) признак Даламбера:

.

Ряд (А) сходится абсолютно.

Функциональные последовательности и ряды и их области сходимости

Задания для самостоятельного решения

Пример 1. Определить область (абсолютной и условной) сходимости функционального ряда: .

Решение. При каждом значении имеем обыч­ный числовой ряд. Применяем к нему признак Даламбера, как это делалось при исследовании абсолютной сходимости. Вводим величину:

.

Отыскиваем предел

.

Для тех значений , при которых , рассматриваемый ряд сходится абсолютно. Для значений , при которых , исследуемый ряд расходится, (общий член не стремится к нулю). Точки, для которых , подлежат специальному рассмотрению, так же как и точки, для которых нельзя было составить величину . В данном примере это точки . Сразу отметим, что при  ряд состоит из одних нулей и, очевидно, является абсолютно сходящимся, а при  ряд не определен. Решим неравенство .

Это неравенство равносильно следующему: . Но - расстояние от точки  до точки , а  - расстояние от точки до . Так как начало координат равноудалено от точек А и В, то неравенство |МА| < |МВ| выполняется, если точка М лежит на положительной полуоси, т.е. если . При  имеем , и потому  а поэтому ряд расходится.

При   имеем , и потому эту точку рассматриваем отдельно. Получаем ряд: , который сходится условно.

Итак, областью сходимости ряда является числовой луч: [0; ). При:  исследуемый ряд сходится условно, а в остальных точках луча: [0; ) - абсолютно.

Для отыскания области сходимости этого ряда можно было применить признак Коши (радикальный). В этом случае вводится последовательность и отыскивается предел (если он существует). Далее решается неравенство . На множестве, являющемся егo решением, ряд сходится абсолютно. Там, где , ряд расходится (общий член не стремится к нулю). Точки, в которых , требуют отдельного рассмотрения.


Приложения интегрального исчисления в экономике