Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Пример 2. Найдем область сходимости ряда .

Решение. Применяем признак Даламбера. Имеем:

.

Далее

Если |, тогда .

Из выражения для  следует, что и при  и при | исследуемый ряд сходится абсолютно. Заметим, что при признак Даламбера не применим, но в этом случае ряд состоит из нулей и его абсолютная сходимость тривиальна.

Далее  при , но в этих точках общий член ряда по абсолютной величине равен , и потому ряд расходится.

Итак, во всех точках числовой оси, кроме , рассматриваемый ряд сходится и притом абсолютно.

Пример 3. Найдем область сходимости ряда .

Решение. Применяем признак Даламбера. Имеем:

В силу периодичности тангенса решение неравенства  достаточно провести лишь для отрезка .

В силу монотонности тангенса на этом отрезке получаем: . Область абсолютной сходимости является объединением интервалов . Легко проверить, что на левых концах этих интервалов исследуемый ряд сходится условно, а на правых - расходится (проверьте это!).

Пример 4. Найдем область сходимости ряда: .

Решение. Множество, на котором ряд определен, задается условием , где т. е. , . Для всех х, для которых ряд определен, начиная с некоторого значения , аргумент принадлежит интервалу . Для этих значений  имеем: . Применим к ряду и ряду вторую теорему сравнения для положительных рядов. Так как , то  Этот предел конечен, поэтому ряд - сходится вместе с геометрической прогрессией . Следовательно, рассматриваемый ряд абсолютно сходится во всех точках, где он определен.


Приложения интегрального исчисления в экономике