Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Степенные ряды

Пример 1..

Решение. Применим признак Даламбера .

Следовательно,  и данный ряд сходится на всей числовой оси.

Пример 2.

Решение. Применим признак Коши .

Следовательно,  и ряд сходится только в точке .

Пример 3. .

Решение. .

Следовательно,  и ряд сходится на интервале . Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

1). Пусть .

Получим числовой ряд . Этот ряд расходится.

2). Пусть .

Получим числовой ряд

Этот ряд также расходится.

Применение рядов к приближенным вычислениям.

Пример 1. Вычислим е0,2 с точностью до 0,0001.

Решение. Имеем

.

Оценим погрешность, получаемую при отбрасывании всех членов, начиная с пятого:

Значит, с точностью до 0,0001 имеем:

.

Тригонометрические функции.

Воспользуемся разложениями:

Пример 2. Вычислить  с точностью до 0,0001.

Решение. Воспользуемся тем, что  радиан.

Отбросим в данном ряду все члены, начиная с третьего. Тогда . Имеем: , . .

Следовательно,

Рассмотрим разложение в ряд функции

С помощью этого ряда можно вычислить число , так как .

3. Известно, что существуют так называемые эллиптические интегралы, которые не берутся в конечном виде, т.е. первообразная для подынтегральной функции не может быть выражена никакой конечной комбинацией элементарных функций. С помощью степенных рядов можно находить приближенные значения следующих интегралов: , , , , , , , и т.д.

Пример 3. Найдем с точностью до 0,0001 значение интеграла .

Решение. Заменяя функцию  ее степенным рядом и почленно интегрируя, находим:

.

Так как , то для получения нужной точности достаточно взять первые два члена ряда: .

Степенные ряды могут быть использованы при вычислении логарифмической функции.

Воспользуемся разложением

Тогда формула для вычисления логарифмов любых чисел имеет вид:

.

Пример 4. Вычислить  с точностью до 0,0001.

Решение. Рассмотрим разложение

Получим ряд Лейбница. Известно, что остаток ряда типа Лейбница не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов: . Отбросим в данном ряду все члены, начиная с третьего: .

Следовательно, .

Пример 5. Вычислить  с точностью до 0,0001.

Решение. Воспользуемся разложением . Путем подбора можно определить, что достаточно взять первые четыре члена разложения

Степенные ряды могут быть использованы при вычислении пределов.

Пример 6. Найдем: .

Решение. Так как , соответственно , то искомый предел равен: . Разложим функции, входящие в числитель и знаменатель этой дроби, в ряд по степеням . Имеем: , , и потому . Кроме того, .

Теперь легко найти, что .


Приложения интегрального исчисления в экономике