Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Ряды Фурье. Коэффициенты Фурье

Пусть задана функция f(x) на интервале   Предполагаем, что на этом интервале ее можно разложить в равномерно сходящийся ряд

(14), который можно почленно интегрировать.

Интегрируя правую и левую части (14) в пределах от —я до я, получим   (15). Отсюда

Интегралы от остальных членов ряда в силу формул (10) обратятся в нуль.

Для отыскания коэффициента ат, где т — любое целое положительное число, обе части равенства (14) умножим на cos mx и, учитывая только что отмеченное свойство, проинте­грируем в пределах

 

Все интегралы в правой части, исключая интеграл при коэффициенте ат, равны нулю в силу формул (И) и •(12). Интеграл же при коэффициенте ат, согласно первой формуле (13), равен it, т. е.

f {x) cos mxdx = атcos2mxdx = ат.  (16)

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Напомним, что функция f{x) называется четной, если для всех значений х имеет место f(-x) =f(x).

Функция называется нечетной, если для всех х имеет место f(-x) = - f(x).

График четной функции симметричен относительно оси ординат; график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Если интегрируемая на интервале (-а, а) функция f(x) четная, то , если f(x) - нечетная, то 

Таким образом, для четной функции  

для нечетной

Пусть разлагаемая в ряд Фурье функция f(x) четная, тогда произведение f (x) sinmx — нечетная функция и интеграл, взятый на интервале (-П, П) от такой функции, равен нулю. Все коэффициенты bm в ряду Фурье окажутся нулями, а сам ряд будет состоять из одних косинусов:

  (m =0,1,2, ...)• (19)

Предположим сейчас, что функция f(x) нечетная. В этом случае функция f(x)cosmx нечетная и все коэффициенты аm ряда, включая a0, обратятся в нуль.

Ряд Фурье будет содержать только синусы  bm sin mx,

где   (20) 

Как показывают формулы (19) и (20), коэффициенты Фурье можно вычислять, если функция f(x) задана на поло­вине периода.

Примеры на разложение функций в ряд Фурье

Пример 1. Найти ряд Фурье для функции f(x) = x, -π < x ≤ π.

Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле - она непрерывна и ограничена на заданном интервале, а потому допускает разложение в ряд Фурье. Так как эта функция нечетная, то ряд Фурье будет содержать только синусы.

В самом деле

Для отыскания аm используем формулу (19), интеграл возьмем по частям 

.

Таким образом, получаем ряд:

Ряд сходится во всех точках, кроме точек разрыва. В точках разрыва x:=(2k + 1)  (k = 0, ±1, ±2, ...) значение функции равно среднему арифметическому ее пределов справа и слева, т. е. нулю.

Пример 2. Найти ряд Фурье для функции f(x) = |x| (-П, П). График функции вместе с ее периодическим продолжением на всю числовую ось с периодом 2п.

Решение. Так как функция \х\ четная, то все коэффициенты bт равны нулю. По формуле (19) имеем:  

Интегрируя по частям:

Следовательно, f(x) =

Пологая, что x=0, получим 0=

Откуда,

Полученным рядом можно воспользоваться для вычисления суммы ряда, который представлен в таком виде:

S= (1+)

Тогда,  S =  

Пример 5. Найти ряд Фурье для функции (х) = 5х + 2 (-П, П)

Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле, а потому может быть разложена в ряд Фурье. Найдем коэффициенты

 


Полученное равенство аm - 0 можно было предвидеть и заранее, так как функция f(x) = 5x + 2 отличается от нечетной f(x)=5x только постоянным слагаемым, которое увеличивает соответствующие ординаты на две единицы.

Итак,

Пример 6. Разложить функцию f(x) = х2 (— л<х<п) в ряд Фурье. Функция всюду непрерывная.

Решение. Функция f(x) четная, а потому коэффициенты bт равны нулю.

Два раза интегрируя по частям, найдем

Следовательно,


Приложения интегрального исчисления в экономике