Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Ряд Фурье на произвольном интервале

Часто приходится рассматривать задачу о разложении в ряд Фурье периодической функции f(x), заданной на интервале (—l, l), где l — произвольное число (l> 0).

Если функция / (х) на заданном интервале (— l, l) удовлетворяет условиям Дирихле, то ее разложение может быть легко осуществлено путем замены независимой переменной t =х. Когда х пробегает интервал
(— l, l), переменная t пробегает интервал(-П, П). В этом случае функция f(x) =f() будет иметь период 2П и, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье

Ряд (21) представляет собой функцию с периодом 21.

Заметим, что формулы для определения коэффициентов Фурье в случае четных и нечетных функций записываются по аналогии с формулами (19) и (20).

Для четных функций  

Если функция f(x) нечетная, то ее ряд Фурье

содержит только синусы, где  (24)

Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=x с периодом 21 на интервале (—2, 2). График функции, периодически продолженный на всю числовую ось.

Решение. Функция f(x) нечетная, следовательно, ее ряд Фурье будет содержать только синусы  

Пример 2. Разложить функцию с периодом 2/ = 2, определяемую равенством f(x) — \x\ — I при — I < х < I в ряд Фурье.

Решение. Функция четная, следовательно, Ьт — 0 и

Решение. Так как рассматриваемая функция – четная, то

Следовательно, разложение имеет вид

Вопросы

Какой ряд называется тригонометрическим рядом?

Какой тригонометрический ряд называется рядом Фурье?

Для каких функций можно составить ряды Фурье?

Сформулируйте и докажите теорему об ортогональности системы тригонометрических функций.

Покажите, что четная функция может быть разложена в ряд Фурье только по косинусам кратных дуг, а нечетная – только по синусам.

Как осуществляется разложение в тригонометрический ряд функции, заданной на произвольном промежутке?


Приложения интегрального исчисления в экономике