Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Методы интегрирования

Метод непосредственного интегрирования связан с приведением подынтегрального выражения к табличной форме путём преобразований и применения свойств неопределённого интеграла.

Пример 1. Найти интеграл

Решение:

.

Пример 2. Найти интеграл

Решение:

Замена переменной интегрирования

Если , где - функция, имеющая непрерывную производную, тогда ; подставляя в интеграл, получим

Пример 3. Найти интеграл

Решение:

Воспользуемся подстановкой x=t2. Тогда , получим

Интегрирование по частям

Пусть u=u(x) и v=v(x) – непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула

 .

Пример 4. Найти интеграл

Решение:

Пусть u=x  du=dx,

 ; Используя формулу интегрирования по частям, получим

Интегрирование простейших рациональных дробей

Многочленом степени n называется выражение вида , где  – действительные числа . Например, 5–7x – многочлен первой степени ,

=2x3 – 3x2 +8x – 1 – многочлен третьей степени.

Рациональной дробью называется отношение двух многочленов. Например,   – рациональные дроби. Всякая рациональная дробь имеет вид:

где   – многочлены степени m и n соответственно.

, если

Простейшими рациональными дробями являются следующие четыре типа дробей:

I);  II) III); IV)

Очевидно, что интегралы от простейших дробей первого и второго типов находятся легко:

,

 

где k – целое, .

От дробей третьего и четвёртого типов вычисляют заменой , или по следующим формулам:

Разложение многочленов на множители

Для любых многочленов  имеет место теорема Безу:

, где z0 - простой корень

, где z0 - корень кратности k.

Если z - корень комплексный: , где i=

и , то , где  – сопряженный корень.

Любой многочлен можно разложить на линейные и квадратичные множители

  – действительные корни;  - комплексные корни

Правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей, если знаменатель дроби  представлен в виде сомножителей :

Пример 5. Разложить на сумму простейших дробей следующие дроби:

а) ;

б) .

Решение:

а)

б)

Пример 6. Вычислить интеграл:

Решение:

Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби

приравнивая числители дробей, получаем:

Определим коэффициенты А и В, придавая любые значения переменной x:

Получаем А=1 и В=1. Исходный интеграл найдём как сумму интегралов от полученных дробей.


Разновидности подложек под ламинат.
Приложения интегрального исчисления в экономике