Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Интегрирование тригонометрических функций

   Рассмотрим интегралы вида . Такие интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций заменой переменной  , где  

Такая замена называется универсальной тригонометрическая подстановкой.

В этом случае,

Тогда

.

Пример 7. Найти

Решение:

Положим . Тогда, используя выражения через t для dx и sinx, указанные выше, получаем, что искомый интеграл равен

   При вычислении интегралов вида

рассмотрим частные случаи:

n – нечётное

n, m – чётные, .

 

применяют формулы тригонометрии:

   При вычислении интегралов вида  делают замену ,  тогда

Если интеграл имеет вид

,

где n, m – чётные, применяют формулу:

Пример 8. Вычислить интегралы:

а) 

б) 

Решение:

а) 

б) 

   При вычислении

используют формулы

Интегрирование иррациональных выражений

При вычислении интегралов, содержащих иррациональные выражения применяют замену переменной.

Если ,

то  , где

Если

то   , где


Приложения интегрального исчисления в экономике