Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Определённый интеграл, его свойства

Пусть на отрезке  задана функция y=f(x). Разобьем отрезок  на n элементарных отрезков точками . На каждом отрезке   разбиения выберем некоторую точку   и положим , где . Сумму вида

будем называть интегральной суммой для функции y=f(x) на . Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка  точками , так и от выбора точек  на каждом из отрезков разбиения , .

 


Если существует предел , не зависящий от способа разбиения отрезка  и выбора точек , то этот предел будем называть определённым интегралом функции f(x) на отрезке  и обозначать символом  т.е.

Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке . При этом f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, а числа a и b – пределами интегрирования (a – нижний предел, b – верхний предел), а сумма  – интегральной суммой.

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определённого интеграла

1.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:

3. Определённый интеграл от суммы двух функций равен сумме определённых интегралов от этих функций:

4. При перестановке пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный:

5. Интеграл по отрезку равен сумме интегралов по его частям:

  где a<c<b.

6. Теорема об оценке интеграла

Если   для , тогда значения интеграла от этой функции не менее произведения m на длину отрезка и не более произведения M на длину отрезка.

7. Теорема о среднем значении

Если f(x) непрерывна на отрезке , то существует такое значение, что f(x0)=fср – среднее значение f на отрезке.

2.1.4 Теорема Ньютона-Лейбница

Если функция f(x) непрерывна на отрезке  и F(x) – первообразная функции f(x) на этом отрезке, то

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

При вычислении интегралов ее часто записывают в виде

Например,  =

Замена переменной в определённом интеграле

Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке , функция  имеет на отрезке  непрерывную производную, при этом  и  Тогда

Пример 9. Найдём  

Решение:

Воспользуемся подстановкой x=sint; тогда . Найдём новые пределы интегрирования: если х=0, то t=0, если х=1, то . Получим

.

Интегрирование по частям

Пусть u=u(x), v=v(x) – непрерывно дифференцируемые на  функции. Тогда справедлива формула

или

Пример 10. Найти

Решение: Положим u=x,  откуда

 Согласно формуле находим


Приложения интегрального исчисления в экономике