Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Геометрические приложения определённого интеграла

Вычисления площадей плоских фигур

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке . Если при этом f(x) на этом отрезке, то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=f(x), y=0, x=a, x=b, выразится с помощью интеграла:

 


Замечания:

1. Если же  на , то – f(х) на этом отрезке. Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции находится по формуле

или

Наконец, если линия y=f(x) пересекает ось Ох, то отрезок  надо разбить на части, в пределах которых f(x) не меняет знака, и к каждой части применить ту из формул, которая ей соответствует.

2. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху графиком функции y2=f2(x), снизу – графиком функции y1=f1(x), слева и справа прямыми x=a, x=b, вычисляется по формуле:

3. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной справа графиком функции x2=j2(y), слева – графиком функции x1=j1(y), снизу и сверху прямыми y=c, y=d, вычисляется по формуле:

Пример 11. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции y = sinx и осью абсцисс при условии .

Решение:

Разобьём отрезок  на два отрезка:  и . На первом из них sinx, на втором sinx. Тогда, используя формулы, находим искомую площадь:


Вычисление объёмов

Если тело образовано вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y=f(x) (), осью Ох и прямыми x=a, x=b (a<b), то

 


  или

Вокруг Оу:

 

 

Пример 12 Найти объем тела, полученного вращением y=tgx вокруг оси Ox, .

Решение:

.


Приложения интегрального исчисления в экономике