Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Несобственные интегралы

При введении понятия определённого интеграла мы предполагали, что подынтегральная функция является ограниченной, а пределы интегрирования – конечными. Такой интеграл называется собственным (слово «собственный» обычно опускается). Если хотя бы одно из этих двух условий не выполнено, то интеграл называется несобственным.

Интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Пусть функция f(x) непрерывна при <, т.е. при  Тогда по определению полагают

Если этот предел существует, то говорят, что интеграл

сходится, а если предел не существует, то интеграл называют расходящимся.

Геометрически для неотрицательной при  функции f(x) несобственный интеграл по аналогии с собственным интегралом представляет собой площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), слева отрезком прямой x=a и снизу осью Ox.

 


Пример 13 Исследовать на сходимость интегралы:

а)  т.е. данный несобственный интеграл сходится.

б)  т.е. данный интеграл расходится.

в) Установим, при каких значениях  интеграл  сходится.

Случай   был рассмотрен в примере б). Если  то

.

Значит, данный интеграл сходится при >1 и расходится при  

Аналогично определяются следующие несобственные интегралы

 

Интегралы от неограниченных функций

Пусть функция f(x) непрерывна при <b. Пусть эта функция стремится к бесконечности, когда  (т.е. на отрезке   функция f(x) не ограничена). Положим

Если этот предел существует, то говорят, что интеграл

сходится, а если предел не существует, то интеграл называют расходящимся.

Подобным же образом равенство

даёт определение интеграла от функции f(x), стремящейся к бесконечности при  

Наконец, если функция f(x) стремится к бесконечности при приближении аргумента к обоим концам промежутка , то полагают

  a<c<b.

Если при этом сходятся оба интеграла в правой части последнего равенства, то сходится и интеграл слева.

Пример 14

, т.е. расходится.


Приложения интегрального исчисления в экономике