Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Понятие двойного интеграла

Рассмотрим функцию двух переменных z=f(x,y) или z=f(M), определённую и непрерывную в замкнутой ограниченной области D плоскости Oxy; .

 


Разобьем область D произвольным образом на элементарные участки  , площади которых также обозначим  , а диаметры  обозначим d. Выберем произвольно точку .

Интегральной суммой для функции по области называется:

.

Если существует предел последовательности интегральных сумм  при , то он называется двойным интегралом от функции f(M) по области D, обозначают:

Замечание:

Предел не зависит ни от способа разбиения области на элементарные участки , ни от выбора точек .

Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторных интегралов следующим образом.

Для непрерывной функции  двойной интеграл по области  равен повторному интегралу:

  (1)

или 

 (2)

Повторные интегралы (1) и (2) отличаются друг от друга порядком интегрирования по переменным  и . Применение формулы (1) или (2) зависит от конфигурации области . Формула (1) применяется в тех случаях, когда область  ограничена снизу и сверху соответственно кривыми   и , а слева и справа прямыми , причем всюду на  функции  и непрерывны и . Примеры таких областей приведены на рисунке.

Формулу (2) применяют в тех случаях, когда область  ограничена слева и справа соответственно кривыми  и . Снизу и сверху - прямыми . Причем всюду на  функции  непрерывны . На рисунке изображены примеры таких областей.

Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов по формулам (1) или (2). При применении формулы (1) сначала вычисляют внутренний интеграл   при постоянном , полученная функция от  интегрируется в пределах от  до .

Если применяют формулу (2), то сначала вычисляют  внутренний интеграл  при постоянном ; затем полученная функция от  интегрируется на отрезке .

Покажем, как вычисляется двойной интеграл в декартовой системе координат.

Пример 15 Вычислить  где область  ограничена линиями .

Решение:

Построим область : уравнение  является уравнением параболы, симметричной относительно оси , с вершиной в начале координат. Уравнение  есть уравнение прямой.

Найдем координаты точек пересечения параболы и прямой, для этого решим систему уравнений:

Решая второе уравнение, найдем  - ординаты точек пересечения параболы и прямой. Таким образом, область  ограничена слева параболой: , справа прямой , снизу н сверху соответственно прямыми  и . Применяя формулу (2), запишем исходный двойной интеграл в виде

,

Вычисляя сначала внутренний интеграл по dx , затем внешний, получим:


Приложения интегрального исчисления в экономике