Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется выражение вида:

  или ,

то есть, уравнение, содержащее неизвестную функцию  и её производные до n-го порядка.

Так, например:

, или   - это дифференциальное уравнение первого порядка;

  - дифференциальное уравнение второго порядка.

Из определения дифференциального уравнения следует, что его порядок равен порядку старшей производной, содержащейся в нём.

Решением дифференциального уравнения называется любая функция

,

которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Пример 16 Проверить (самостоятельно), будут ли функции

; ; ;

решениями дифференциального уравнения

.

Решение:

Рассмотрим уравнения первого порядка.

  (1)

имеет место следующая

теорема Коши

Если функция  определена и непрерывна в области  вместе со своей частной производной , то для всякой точки , принадлежащей области , в некоторой её окрестности, существует единственное решение , удовлетворяющее начальному условию при

.  (2)

Условия (2) называются начальными условиями.

Геометрически это означает, что при выполнении условий теоремы через каждую внутреннюю точку M0 области  проходит единственная интегральная кривая.

 


Задачей Коши называют задачу о нахождении решения дифференциального уравнения

, (1)

удовлетворяющее начальным условиям

.  (2)

Вышеприведённую теорему называют теоремой о существовании и единственности решения задачи Коши.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называют функцию  такую, что

при любом  она является решением дифференциального уравнения (1);

каковы бы ни были начальные условия (2), всегда можно найти такое , что  удовлетворяет начальным условиям (2).

Частным решение называется решение, полученное из общего при конкретном значении .

Простейшие типы дифференциальных уравнений первого порядка.

Уравнение с разделёнными переменными

или

.

Решая первое уравнение, получим .

Интегрируя, найдём общее решение .

Решая второе, получим .

Интегрируя, найдём общее решение.

Уравнение с разделяющимися переменными,

или

.

Разделим обе части первого уравнения  на  и умножим на , получим уравнение с разделёнными переменными



Для второго уравнения: разделим обе части на произведение , получим также уравнение с разделёнными переменными

.

Операция деления уравнения на произведение  называется разделением переменных.

При делении на произведение  можно потерять некоторые решения, которые получаются из уравнения

.

Определяя из этого уравнения решения , следует проверить, является ли оно решением исходного уравнения. Если не является, его следует отбросить, а если является, то проверить, входит ли оно в общий интеграл. Если входит, то оно есть частное решение, а если не входит, то это решение называется особым.

Пример 17  Решить уравнение .

Решение:

Разделим уравнение на произведение , получим:

.

Интегрируя, получим общий интеграл:

.

В этом уравнении  имеет вид . Его решение ,  является решением исходного уравнения, но не входит в общий интеграл. Следовательно, решение ,  является особым.

Пример 18 Найти общее решение .

Решение:

;

;

интегрируя, найдем общее решение

 или ;

;

;


Приложения интегрального исчисления в экономике