Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Однородные уравнения.

Функция  называется однородной степени , если для любых  и  выполняется равенство

Если функции  и  однородные одной и той же степени , то дифференциальное уравнение   называется однородным.

Однородное уравнение всегда можно привести к виду

,

решается подстановкой:

  или .

Пример 19 Решить .

Решение:

Данное уравнение является однородным, т.е. функции ,  однородные степени . Сделаем замену Тогда уравнение перепишется так:

;

;

разделяя переменные, получим:

;

;

;

Так как у нас , то , , .

Линейные дифференциальные уравнения

Уравнение ,

где ,  - непрерывная функция от   на интервале , называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Неизвестная функция  и её производная входят в это уравнение в первой степени – линейно.

Линейные уравнения обычно решают методом Бернулли.

Представим искомую функцию в виде произведения двух неизвестных функций   и .

Пусть , тогда  или ,

и уравнение примет вид

  или .

Полученное уравнение разобьём на два таким образом:

Выберем функцию  так, чтобы сумма второго и третьего слагаемых обратилась в нуль:

;

.

Решаем первое: так как , относительно  имеем уравнение  с разделяющимися переменными:

  или

Функцию  подставим во второе уравнение:

, откуда .

.

Найдём общее решение по формуле

,

подставив найденные функции вместо , .

Пример 20 Решить уравнение .

Решение:

Положим , .

Подставляя выражения для  и  в данное уравнение получим:

1)

2) .

Решаем первое уравнение:

После разделения переменных получим . Отсюда  или .

Решаем второе уравнение:

Подставим найденное значение , получим:

.

Отсюда, разделяя переменные и интегрируя, находим функцию :

.

Теперь можно записать общее решение данного дифференциального уравнения:

  или

.

Уравнением Бернулли

называется уравнение вида

,

где  – любое вещественное число.

Если  равно нулю или единице, то мы получим линейное дифференциальное уравнение.

Уравнение Бернулли можно сразу решать методом Бернулли, полагая . Следует отметить, что при  функция  является решением Бернулли.

Пример 21 Решить уравнение .

Решение:

Приведём решение методом Бернулли.

Полагая

;

;

получим

1) ; ; ; .

2) Подставим найденную функцию :

; ; ; ; ;

и окончательно .


Приложения интегрального исчисления в экономике