Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

Уравнение вида

решается последовательным двукратным интегрированием правой части.

Пример 22 Решить уравнения:

а) ; б) .

Решение:

а) Последовательно интегрируя получим:

; ; ;

.

б) ; .

Уравнение вида

не содержит явным образом искомой функции .

Решается заменой ,

тогда: .

Подставляя эти выражения производных в исходное уравнение, получим уравнение первого порядка

относительно неизвестной функции  от . Проинтегрировав это уравнение, найдём его общее решение:

,

а затем из соотношения  получим общий интеграл исходного уравнения:

.

Пример 23 Решить уравнение .

Решение:

Положим , тогда  и мы получаем дифференциальное уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции  от :

.

Разделим уравнение на , получим

линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Подставим функцию   в виде , тогда

.

Подставляя их в уравнение получим:

.

Далее .

1) ; ; ; .

2)   или ,

  или ;

.

Уравнение вида

,

не содержит явным образом переменную ,

решается заменой , тогда .

Пример 24 Решить уравнение .

Решение:

В уравнение не входит . Полагая , тогда

.

Подставляя в уравнение, получим:

  или ,

откуда

; ;

интегрируя, получим

; ;

так как , то

; .

Итак, общее решение:

.


Приложения интегрального исчисления в экономике