Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Метод Лагранжа

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение

где  непрерывная функция. Однородное уравнение соответствующее неоднородному уравнению будет

Справедлива следующая теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения:

Если  – частное решение уравнения

а   – общее решение однородного уравнения  то общее решение неоднородного уравнения  равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения

Замечание.

Если правая часть уравнения  есть сумма нескольких функций , то частное решение уравнения равно сумме частных решений, отвечающих каждой функции в отдельности .

Как мы убедились раньше, задача отыскания общего решения неоднородного уравнения   сводится к отысканию общего решения однородного уравнения  и частного решения неоднородного уравнения .

Приведем метод, позволяющий определить общее решение неоднородного уравнении по общему решению однородного уравнения.

Метод Лагранжа (метод вариации постоянных) решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка

Алгоритм метода:

Решить однородное уравнение

и записать его общее решение

Записать общее решение неоднородного уравнения, полагая произвольные константы функциями от x:

,

тогда

3. Записать систему уравнений

и решить ее.

4. Полученное решение  подставить в .

Пример 27 Решить уравнение

Решение:

Для соответствующего однородного уравнения  общее решение имеет вид

Запишем его в виде

составляем систему

Решаем эту систему по методу Крамера:

,

где

получим

Интегрируя, найдем

Подставляя найденные  

в общее решение однородного дифференциального уравнения

,

получим

.


Приложения интегрального исчисления в экономике