Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Достаточные признаки сходимости рядов

Рассмотрим ряд  , члены которого положительны, т.е.  (n=1,2,3,…).

Признак Даламбера

Пусть для числового ряда с положительными членами:

имеет место  тогда

при D<1 ряд сходится,

при D>1 ряд расходится,

при D=1 ряд может сходиться или расходиться (в этом случае  требуется дополнительные исследования).

Признак Коши

Пусть для числового ряда с положительными членами:

имеет место  тогда

при D<1 ряд сходится,

при D>1 ряд расходится,

при D=1 ряд может сходиться или расходиться (в этом случае  требуется дополнительные исследования).

Пример 34 Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Применим признак Даламбера, вычислим

 

число D=0 <1, следовательно, ряд сходится.

Пример 35 Исследовать на сходимость ряд .

Решение:

Применим признак Коши:

  – ряд расходится.

Интегральный признак Маклорена-Коши

Пусть   числовой ряд с положительными числами.

Пусть члены ряда удовлетворяют следующим условиям:

1) составляют монотонную не возрастающую последовательность

;

2) можно построить монотонную не возрастающую функцию   такую, что  , тогда заданный ряд  – сходится и расходится одновременно с несобственным интегралом  .

Пример 36 Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд

Решение:

Члены ряда составляют монотонно убывающую последовательность .

Следовательно, функцией  будет

Тогда  (доказать самостоятельно).

Если p=1, то имеем  – гармонический ряд, который расходится.

Итак, ряд  сходится при  и расходится при .

Признак сравнения

Сходимость или расходимость положительного ряда часто устанавливают путем сравнения его с другим рядом, заведомо сходящимся или расходящимся.

Пусть даны два положительных ряда

 

 

Если имеет место неравенство , то

1) из сходимости второго ряда вытекает сходимость первого ряда; 2) из расходимости первого ряда следует расходимость второго ряда.

Предельный признак сравнения

Если существует предел (в предположении, что )

 

то оба ряда сходятся или оба расходятся одновременно.

Примеры 37 Исследовать сходимость ряда

Решение:

Члены ряда не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда, составленного из членов геометрической прогрессии с общим членом

:

Согласно признаку сравнения, данный ряд также сходится.

Примеры 38 Исследовать сходимость ряда

Решение:

Ряд расходится по предельному признаку сравнения, так как

,

где известно, что гармонический ряд

.


Приложения интегрального исчисления в экономике