Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Знакопеременные ряды. Признак Лейбница

Знакопеременным рядом называется ряд, членами которого являются действительные числа произвольного знака.

Например,

1)  

2)  

3)  

Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если соседние его члены имеют различные знаки.

Например, .

Знакопеременный ряд  называется:

Абсолютно сходящимся, если сходится ряд составленный из модулей его членов .

Условно сходящимся, если он сходится, но не сходится абсолютно.

Имеют место следующие свойства абсолютно сходящихся рядов:

1) Всякий абсолютно сходящийся ряд сходится.

2) Если в абсолютно сходящемся ряде произвольным образом переставить члены, то полученный ряд также будет абсолютно сходится, а сумма его будет равна сумме исходного ряда.

Пример 37 Исследовать ряд  на сходимость.

Решение:

Составим ряд из модулей , он сходится.

По признаку сравнения, так как

Ряд  – сходится, следовательно сходится и ряд .

Таким образом сходится абсолютно ряд .

Для знакочередующихся рядов имеет место

признак сходимости Лейбница.

Если члены знакочередующегося ряда

1) монотонно убывают по абсолютной величине, т. е.

,

и

2) общий член ряда стремится к нулю, ,

то:

1) ряд сходится;

2) его сумма не превосходит величины первого члена ряда

;

3) модуль суммы остатка ряда не превосходит абсолютной величины первого отброшенного члена (первого члена остатка):

и имеет знак своего первого члена.

Пример 38 Исследовать на сходимость ряды

а)

б)

Решение:

а) ряд  сходится по признаку Лейбница, так как члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине

и общий член ряда стремится к нулю, ,

б) ряд  сходится по признаку Лейбница:

.

Если положить его сумму S, приближенно равной сумме первых шести членов этого ряда, то получим ошибку, абсолютная величина которой меньше, чем

  S=0,907.


Приложения интегрального исчисления в экономике