Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Функциональные ряды. Степенные ряды

Функциональным рядом называется выражение

,

члены которого  являются функциями от .

Придавая  числовое значение , мы получаем числовой ряд

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Множество тех значений, , при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости. Ясно, что в области сходимости сумма функционального ряда является некоторой функцией от . Обозначим се через .

Функциональный ряд сходится в точке x0 , если сходится числовой ряд .

Функциональный ряд сходится на интервале J, если он сходится в каждой точке этого интервала.

На интервале сходимости J сумма ряда есть некоторая функция S(x).

Например, используя известные признаки сходимости числовых рядов, можно найти интервалы сходимости функциональных рядов:

1)  .

2)  сходится для

3)   – ряд Дирихле: при  сходится, при  расходится.

4) расходится для .

Специальный класс функциональных рядов составляют гак называемые степенные ряды вида

=,

где   -- последовательность действительных чисел, называют коэффициентами ряда.

Выясним, какой вид имеет "область сходимости" степенного ряда, то есть множество  тех значений переменной, для которых ряд сходятся.

Теорема Абеля.

Если степенной ряд  сходится в точке , то он сходится и притом абсолютно в интервале , то есть при всех значениях , удовлетворяющих условию. .

Следствие:

Если степенной ряд расходится при некотором значении , то он расходится и при всех значениях .

Любой степенной ряд сходится при значении . Есть степенные ряды, которые сходятся только при  и расходятся при остальных значениях .

Область сходимости может состоять из всех точек оси Ох, другими словами, ряд может сходится при всех .

Пример 39 Исследовать сходимость ряда .

Решение:

Ряд   представляет геометрическую прогрессию со знаменателем , сходится при  и расходится при .

Из теоремы Абеля и ее следствия получаем, что все точки сходимости расположены от начала координат не дальше, чем любая из точек расходимости. Совершенно ясно, что точки сходимости будут целиком заполнять некоторый интервал с центром в начале координат.

Таким образом, можно сказать, что для каждого степенного ряда, имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости, существует такое положительное число , что для всех , по модулю меньших  , ряд абсолютно сходится, а для всех , по модулю больших  , ряд расходится.

Что касается значений  здесь могут быть различные возможности: ряд может сходится в обеих точках, или только в одной из них, или ни в одной. При этом ряд может сходиться как абсолютно, так и условно.

Радиусом сходимости степенного ряда  называется такое число , что для всех , , степенной ряд сходится, а для всех , расходится. Интервал  называется интервалом сходимости.

Условимся для рядов, расходящихся при всех , кроме . считать , а для рядов, сходящихся при всех , считать .

Как найти радиус сходимости?

Если все коэффициенты степенного ряда, начиная с некоторого, отличны от нуля, то его радиус сходимости равен пределу при  отношения абсолютных величин коэффициентов общего и следующего за ним членов ряда.

Составим ряд из абсолютных величин членов ряда

Найдем отношение  для этого ряда:

а затем предел его при :

Здесь множитель  вынесен за знак предела, как не зависящий от  и введено обозначение

,

если этот предел существует и не равен нулю. Согласно признаку Даламбера, ряд сходится, если ,. откуда . Отсюда следует, что ряд сходится, и притом абсолютно, при значениях .

Согласно тому же признаку Даламбера, ряд расходится, если  или . Однако в этом случае из признака Даламбера следует, что члены ряда не стремятся к нулю. Тогда при  не стремятся к нулю и члены ряда, а потому и он расходится при значениях . Следовательно, согласно определению, число  – радиус сходимости степенного ряда. из соотношения получим


Приложения интегрального исчисления в экономике