Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Пример 40 Найти радиус сходимости ряда

Решение:

Пример 41 Найти область сходимости степенного ряда

Решение:

Найдем отношение

  т. е. ряд сходится только при  и расходится при остальных значениях .

Пример 42 Найти область сходимости степенного ряда:

Решение:

Здесь

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

При   имеем ряд  он сходится по теореме Лейбница.

При  имеем ряд , который расходится как произведение расходящегося гармонического ряда на -1. Следовательно; областью сходимости служит полуинтервал .

Пример 43 Найти область сходимости степенного ряда

Решение:

Найдем радиус сходимости ряда

Исследуем сходимость ряда при значениях . Подставив их в данный ряд соответственно получим

  Оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимое условие сходимости (их общие члены не стремятся к нулю при ). На обоих концах интервала сходимости данный ряд расходится а область его сходимости

Замечание.

Формула радиуса сходимости степенного ряда получена в предположении, что все коэффициенты членов ряда начиная с некоторого, отличны от нуля. Применение формулы допустимо только в этих случаях. Если это условие нарушается, то радиус сходимости степенного ряда следует искать или с помощью признаков Даламбера. Коши, или же сделав замену переменной, преобразованием ряда к виду в котором указанное условие выполняется.


Приложения интегрального исчисления в экономике