Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Свойства степенных рядов

Рассмотрим степенной ряд

имеющий радиус сходимости ( может равняться ). Тогда каждому значению  из интервала сходимости соответствует некоторая сумма ряда. Следовательно, сумма степенного ряда есть функция от  на интервале сходимости. Обозначим ее через . Тогда можно записать равенство

понимая его в том смысле, что сумма ряда в каждой точке  из интервала сходимости равна значению функции  в этой точке. В этом же смысле будем говорить, что ряд сходится к функции  на интервале сходимости. Вне интервала сходимости равенство не имеет смысла.

Пример 44 Найти сумму степенного ряда

Решение:

Это ряд составленный из членов геометрической прогрессии, у которой . Следовательно, его сумма есть функция . Ряд сходится, если . Поэтому равенство

справедливо лишь для значений , хотя функция  определена для всех значений  кроме

Можно доказать, что сумма степенного ряда  непрерывна и дифференцируема на любом отроке  внутри интервала сходимости.

Равенство справедливое в интервале сходимости степенного ряда называют разложением  в степенной ряд.

Для степенных рядов справедливы следующие утверждения:

1) Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать неограниченное число раз причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд а суммы их соответственно равны .

2) Степенной ряд можно неограниченное число раз почленно интегрировать в пределах от 0 до , если , причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны

Разложение функций в степенные ряды.

Ряды Тейлора, Маклорена

Пусть дана функция , которую требуется разложить в степенной ряд, т. е. представить в виде

Задача состоит в определении коэффициентов  ряда. Для этого продифференцируем равенство, получим:

Полагая в этих равенствах , найдем

Тогда

Подставляя значения найденных коэффициентов  в равенства, получим

или

Это разложение функции  в ряд называется рядом Маклорена, это разложение функции называют разложением по степеням .

Рядом Тейлора называю ряд вида:

или

называют разложением по степеням .

Пример 45 Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение:

Найдем производные , поэтому при  имеем  Подставляя эти значения в формулу получим искомое разложение

Этот ряд сходится на всей числовой прямой .

Пример 46 Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение:

Так как производная четвертого порядка совпадает с функцией, то производные следующих порядков повторяются в той же последовательности. Найдем значения функции и ее производных при :

Поэтому ряд Маклорена для функции  имеет вид

Пример 47 Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение:

Аналогично, получим


Приложения интегрального исчисления в экономике