Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

Многие задачи естествознания приводят к нахождению неизвестных функций, описывающих рассматриваемые явления или процессы, когда известны соотношения, связывающие между собой эти функции и их производные. Такие соотношения называются дифференциальными уравнениями. В качестве иллюстрации рассмотрим следующие примеры.

1.1. Допустим, что в каждый момент времени  известна скорость точки, движущейся по оси , где  - функция, непрерывная на . Кроме того, будем считать, что известна абсцисса  этой точки в некоторый определённый момент времени . Требуется найти закон движения точки, то есть зависимость абсциссы движущейся точки от времени.

Решение. Положение точки определяется одной координатой  и задача состоит в том, чтобы выразить  как функцию от . Принимая во внимание механический смысл первой производной, мы получим равенство

(1.1)

Как известно из интегрального исчисления

 

(1.2)

где верхний предел интеграла - переменный, нижний  есть некоторое фиксированное число из ,   - произвольная постоянная. Так как в формулу (1.2) входит произвольная постоянная, то мы ещё не получили определённого закона движения точки.

Выделим из множества движений (1.2) то движение, при котором движущаяся точка занимает заданное положение  в заданный момент времени :

,

что вместе с (1.2) даёт искомый закон движения точки:

  .

1.2. Найти уравнения кривых, для которых отрезок касательной между точкой касания и осью  делится пополам в точке пересечения с осью .

Решение. Из чертежа имеем из геометрического смысла производной .

Следовательно,  или .

Интегрируя, получим

.

Ответ: искомые кривые - параболы  (рис. 1).

Рис.1

2. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию  и ее производные или дифференциалы.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение.

Например:

  - диф. уравнение 1-го порядка;

  - ДУ 2-го порядка;

 - ДУ 3-го порядка.

Дифференциальным уравнением п-го порядка называется соотношение вида

(2.1)

между независимой переменной , функцией  и ее производными .

Если неизвестная функция в уравнении (2.1) зависит от одной независимой переменной , то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если от нескольких переменных , то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных. Мы будем рассматривать только обыкновенные ДУ и их системы.

Если уравнение (2.1) удается разрешить относительно , то получим уравнение, разрешённое относительно старшей производной,

(2.2)

Решением дифференциального уравнения называют функцию, определенную на интервале вместе со своими производными до п-го порядка включительно, и такую, что подстановка функции  в ДУ превращает последнее в тождество .

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.

Задача нахождения решения уравнения (2.2) или (2.1), удовлетворяющего начальным условиям,

,

где  - заданные числа, называется задачей Коши для дифференциального уравнения.

Функцию , где  - произвольные постоянные, будем называть общим решением уравнения (2.1), если в  при соответствующем выборе постоянных  эта функция обращается в решение любой задачи Коши, поставленной для данного уравнения, при .

Решение, полученное из общего при конкретных значениях произвольных постоянных   (в частности, всякое решение задачи Коши), называется частным решением (частным интегралом) этого уравнения.

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ

Если порядок ДУ (2.1) , то дифференциальное уравнение - ­первого порядка и в общем виде запишется так:

(3.1)

Дифференциальное уравнение (3.1), разрешенное относительно производной , имеет вид

(3.2)

Общим решением ДУ первого порядка будет функция , которая содержит только одну произвольную постоянную С. В случае  начальные условия (2.4) имеют вид

(3.3)

где ,  - заданные числа.

Решение  ДУ (3.2), удовлетворяющее начальному условию (3.3), называется частным решением ДУ (3.2).

Задача отыскания частного решения ДУ (3.1) или (3.2), удовлетворяющего начальному условию (3.3), называется задачей Коши для ДУ первого порядка.

В связи с решением задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка возникает два важных вопроса:

всегда ли существует решение задачи Коши;

если решение задачи Коши существует, то является ли это решение единственным?

Ответ на эти вопросы имеет принципиальное значение. Прежде чем решать конкретную задачу Коши, необходимо исследовать вопрос о существовании и единственности решения.

Для существования решения задачи Коши для ДУ (3.2) достаточно, чтобы правая часть его, то есть функция , была непрерывна в окрестности начальной точки, тогда её решение будет определено (и непрерывно дифференцируемо) в общем случае лишь в некоторой окрестности начального значения независимой переменной. А для единственности решения этого мало. Приведём теорему, которая обеспечивает существование и единственность решения задачи Коши.

Теорема. Если правая часть ДУ (3.2) определена и непрерывна в прямоугольнике , где  и  - заданные положительные числа, удовлетворяет в нем двум условиям:

  непрерывна и ограничена, т.e. ;

 существует и ограничена, т.e. ,

где   и  - постоянные положительные числа, то уравнение (3.2) имеет единственное решение , удовлетворяющее начальным условиям , определенное и непрерывно дифференцируемое в интервале , где .

Пример 1. Установить область существования и единственности решения для уравнения .

Решение. Правая часть данного уравнения определена и непрерывна при ;  существует и непрерывна при . Следовательно, областью существования и единственности решения является полуплоскость ().


Приложения интегрального исчисления в экономике