Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Пример 2. Оценить область существования и единственности решения уравнения  в прямоугольнике , удовлетворяющего начальным условиям:  при .

Решение. Искомое решение  существует, так как правая часть данного уравнения   - многочлен относительно  и .

Найдем .

По условию задачи имеем: , , , , , тогда

Существование и единственность решения обеспечены теоремой существования и единственности лишь в интервале .

Решение, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым.

Если правая часть уравнения (3.2) удовлетворяет в области  условиям теоремы существования и единственности, то это уравнение, очевидно, не имеет особых решений.

В частности, если  - многочлен, то уравнение (3.2) не имеет особых решений в области .

Если в уравнении функция  непрерывна по  и  и имеет частную производную по , то особыми решениями могут быть те кривые , во всех точках которых   обращается в бесконечность

.

Будем называть такие кривые «подозрительными» на особое решение.

Пример 3. Найти кривую, «подозрительную» на особое решение уравнения и исследовать, будет ли она особым решением.

Решение. Общее решение данного уравнения имеет вид . Найдем кривую, «подозрительную» на особое решение, по виду правой части.

Имеем .

Ясно, что в качестве кривой  можно взять только  (ось ). В каждой точке этого решения нарушается единственность решения задачи Коши. Возьмем любую точку  на решении . Подставим координаты этой точки в общее решение; получим .

Подставляя это значение  в общее решение, получим частное решение .

Таким образом, через точку  проходит не одна интегральная кривая. Следовательно, - особое решение исходного уравнения.


Приложения интегрального исчисления в экономике