Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, ИНТЕГРИРУЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешённое

относительно , имеет вид (ДУ (3.2))

  или .

Последнее уравнение является частным случаем уравнения

.

(4.1)

Дифференциальное уравнение первого порядка называется интегрируемым в квадратурах (или просто интегрируемым), если его общее решение может быть получено с помощью конечного числа элементарных (алгебраических) операций и квадратур. (Квадратурой называется операция отыскания первообразных.) Среди дифференциальных уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах, рассмотрим некоторые виды ДУ первого порядка.

4.1. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

ДУ первого порядка (3.2) называется уравнением с разделенными переменными, если его можно представить в виде

,

(4.2)

в котором одно слагаемое  зависит только от , а другое только от . Для решения этого уравнения достаточно его проинтегрировать, получив общий интеграл уравнения (4.2):

или ,

где ,  - первообразные функций , соответственно. Если последнее уравнение разрешить относительно , то получится равенство , правая часть которого является общим решением исходного уравнения (4.2).

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Интегрируя, находим

.

Отсюда  и .

Это равенство можно переписать в виде  или (так как ) .

Замечание. Поскольку нахождение  из общего интеграла может представлять значительные трудности, но уже имеющие только алгебраический характер, то задачу решения ДУ считают законченной уже тогда, когда найден его общий интеграл. Более того, если общий интеграл (или решение) уравнения выражен через неэлементарные интегралы, то и тогда уравнение считается решенным.

Например, 1) интегрируя уравнение , находим его общий интеграл . Хотя выразить отсюда  через  и  мы не сможем, но все же считаем исходное уравнение решенным.

2) Аналогично, записав для уравнения  общий интеграл , мы считаем, что решили уравнение, хотя интеграл  и не выражается через элементарные функции.

4.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрим частный вид уравнения (4.1), а именно, когда функции   и  представляют собой произведение функции, зависящей только от , на функцию, зависящую только от , то есть

;

.

(4.3)

Подставим (4.3) в ДУ (4.1), получим

.

(4.4)

Дифференциальное уравнение вида (4.4) называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Разделив почленно уравнение (4.4) на  при условии, что , получим уравнение с разделенными переменными:

.

(4.5)

Взяв неопределённые интегралы от обеих частей ДУ (4.5), получим общий интеграл данного уравнения:

.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Правая часть данного уравнения разлагается на множители

.

Поскольку , обе части последнего уравнения разделим на  и умножим на :

.

интегрируя, получим

.

Ответ: .

Пример 2. Решить задачу Коши для уравнения , если  при .

Решение. Данное ДУ можно сразу интегрировать:

.

Учитывая начальные условия, найдём :

.

Ответ: .

Многие ДУ могут быть приведены к виду уравнения с разделяющимися переменными путем замены переменных.

К числу таких уравнений относятся однородные дифференциальные уравнения первого порядка.


Приложения интегрального исчисления в экономике