Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Производная функции. Ее геометрический смысл

Определение. Производной функции y=f(x) в точке  называется предел отношения приращения функции  к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.

Обозначение:

.

Для производной в точке x0 можно использовать и другие обозначения: .

Поясним понятие производной геометрически. На рис. 13 видно, что , а отрезок , из треугольника  получаем , здесь α – угол наклона секущей  к оси ОX. При  секущая  стремится занять положение касательной Т, составляющей угол  с осью абсцисс – угол наклона касательной. При этом . Следовательно, , т.е. производная есть тангенс угла наклона касательной, или  равен угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции  в точке .

Рис. 13

Напомним, что уравнение прямой, проходящей через точку  и имеющей угловой коэффициент k, имеет вид .

Поскольку , то уравнение касательной запишется так: .

2.2. Дифференциал функции, его геометрический смысл

Напомним, что если , то в окрестности  имеем , где  
(при ). Из определения производной следует, что , где  при , т.е.  - б.м. при . Отсюда .

Приращение функции  представляет собой сумму двух слагаемых:  – есть бесконечно малая более высокого порядка, чем  (вспомните, что это значит); второе слагаемое  линейно зависит от  и служит хорошим приближением к приращению функции  при малых .

Определение. Величина  называется дифференциалом функции f(x) в точке  и обозначается .

Таким образом,

. (*).

Такое выражение для  возможно лишь в случае существования . Подобные функции называют дифференцируемыми в точке . Формулу (*) можно использовать в приближенных вычислениях. Из определения следует, что для независимой переменной  и .

Геометрический смысл дифференциала виден из рис. 14.

Из  имеем: , но , . Следовательно, . Поэтому говорят, что df есть приращение ординаты касательной (т.е. приращение линейной функции, графиком которой служит касательная). На рисунке отличие df от  выглядит величиной, сравнимой с  и . Но это потому, что величина  не мала. При  видно, что отличие начинает “сильно проигрывать” приращению  и действительно является величиной, стремящейся к нулю быстрее, чем  (т.е.о).

Рис. 14

В приближенных вычислениях полагают , или

2.3. Общее представление о линеаризации функции

При изучении функции вблизи какой-либо точки, например вблизи нуля, часто бывает выгодно заменить исследуемую функцию другой, более удобной для рассмотрения функцией, например линейной. При этом допускается некоторая ошибка.

Пусть задана функция . Вблизи нуля х мало, а  еще меньше, и последний член не оказывает существенного влияния на поведение данной функции. Если отбросить член , функция заменится линейной: . Этот процесс замены функции линейной функцией называется линеаризацией. При линеаризации многочлена вблизи нуля отбрасываются все члены, содержащие степени x выше первой.

Пример1. , отсюда следует: если , то .

Если , то .

Особенно важен случай .

Здесь отброшенные члены являются бесконечно малыми более высокого порядка, чем x, т.е. .

Можно доказать, что , т.е. . Выписанные ранее эквивалентные величины позволяют нам заменить некоторые функции вблизи нуля более простыми, линейными функциями, т.е. линеаризовать их. Таким образом, мы имеем:

Погрешности, получаемые при такой замене, есть бесконечно малые более высокого порядка малости, чем x, т.е. o(x). Заметим, что функции  и  нельзя линеаризовать вблизи нуля, так как вблизи x = 0 они не ограничены.

Пример 2. Пусть необходимо приближенно вычислить . Представим число 82 в виде суммы 81+1. Тогда

При линеаризации функции y = f(x) вблизи точки , т.е. при , величина приращения аргумента  будет бесконечно малой. Функцию f(x), если это возможно, представляют в виде

или

.

Мы знаем, что величина  является дифференциалом функции y = f(x), т.е. .

Итак, функции, допускающие линеаризацию, являются дифференцируемыми. Процесс линеаризации функции эквивалентен замене приращения функции вблизи точки   ее дифференциалом:

или

.

Например:

10.  . Имеем , значит,

.

В частности, при x = 0 ; так,

.

20. y = ln x. Имеем , значит, .

В частности, при x = 1 получаем знакомую формулу  (при ); так,
ln 1,03≈0,03.

Из геометрического смысла дифференциала следует, что линеаризация функции y = f(x) вблизи точки  означает замену графика функции куском ее касательной в этой точке. Эта идея используется при отыскании интегральной кривой дифференциального уравнения. Подробнее об этом будет сказано ниже.


Приложения интегрального исчисления в экономике