Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Однородные дифференциальные уравнения

Функция  называется однородной измерения , если для  выполняется равенство .

Дифференциальное уравнение первого порядка

.

(4.6)

называется однородным, если  и  - однородные функции одного и того же измерения , то есть

;

.

Однородное дифференциальное уравнение имеет вторую форму:

.

(4.7)

Дифференциальные уравнения (4.6) и (4.7) заменой  приводятся к ДУ с разделяющимися переменными  и , общий интеграл которых находится по методу интегрирования ДУ (4.4).

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Решение. Это уравнение однородное, так как обе функции  и  - однородные первого измерения, удовлетворяющие условиям:

,

.

Пусть , тогда . Подставляя значения и  в исходное уравнение, получим

.

После упрощения получим

.

Решаем полученное уравнение с разделяющимися переменными:

.

Возвращаясь к старой переменной (), получим

.

Ответ. .

Пример 2. Решить задачу Коши для уравнения

, если при .

Решение. Полагая , , придём к уравнению с разделяющимися переменными:

,

.

Заменяя значение , получим общее решение исходного уравнения:

.

Учитывая начальное условие , находим частное решение данного уравнения:

.

Если же , то из подстановки  получим , () ­особое решение.

Ответ: , .

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

,

(4.8)

в которое неизвестная функция и ее производная входят линейно (т.е. в первой степени).

Если , то уравнение (4.8) называется линейным неоднородным, если же  - линейным однородным.

Пусть , . Решение уравнения (4.8) будем искать в виде произведения функций , , то есть

.

Так как одна функция выражается через две, то одной из двух функций мы можем управлять произвольно, как это удобно для решения, вторая функция будет зависеть от выбора первой.

Подставим ,  в ДУ (4.8).

Тогда

Или

.

(4.9)

Выберем функцию так, чтобы в уравнении (4.9) обратился в нуль коэффициент при функции , то есть чтобы

.

(4.10)

ДУ (4.10) - с разделяющимися переменными. Решая его, получим (при )

(4.11)

Мы берём какое-либо частное решение ДУ (4.10), а не общее, так как нам достаточно подобрать одну функцию . Подставляя найденное значение  из (4.11) в (4.9), получаем ДУ с разделяющимися переменными для определения функции :

.

Откуда находим общее решение :

(4.12)

Окончательно общее решение линейного уравнения (4.8):

(4.13)

Пример 1. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Для решения можно было бы воспользоваться готовой формулой (4.13), но она сложна для запоминания, поэтому при решении кратко повторим все выкладки общего случая.

Полагаем , тогда . Подставляем значения  и  в данное уравнение, получим

или

.

(*)

Выберем функцию  так, чтобы коэффициент при  обратился в нуль:

- это ДУ с разделяющимися переменными.

Разделяя переменные , интегрируем и берем какое-либо одно частное решение для , например, полагая .

Получим

.

Подставляя найденную функцию  в уравнение (*), получим для определения  следующее уравнение с разделяющимися переменными:

.

Окончательно

.

Ответ: .


Приложения интегрального исчисления в экономике