Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Дифференциальные уравнения Бернулли

Могут встречаться такие уравнения, которые не являются линейными, но, однако, могут быть приведены к линейным с помощью некоторых преобразований. Одним из таких уравнений является уравнение Бернулли, которое имеет вид

,

(4.14)

где   - любое постоянное число, не равное 0 и 1 (если  или , то уравнение (4.14) является линейным уравнением), и легко приводится к линейному. Разделим (при ) все члены уравнения (4.14) на , получим

.

(4.15)

Введём новую функцию

, ().

(4.16)

Продифференцировав (4.16) по  (как сложную функцию), получим

,

то есть

.

Подставим  и  в уравнение (4.15):

.

(4.17)

ДУ (4.17) является линейным относительно . Его решение можно найти методом, изложенным в п.4.4. Зная , легко найти : .

Заметим, что уравнение Бернулли можно, не преобразовывая предварительно к линейному уравнению, решить тем же способом, что и линейное уравнение, полагая сразу . Продемонстрируем это на примере.

Пример. Решить уравнение

.

Решение. Положим , тогда . Подставляем значения  и  в данное уравнение, получим

.

(*)

Подберем  так, чтобы коэффициент при в уравнении (*) обратился в нуль:

- это ДУ с разделяющимися переменными.

Разделяя переменные, имеем , откуда, интегрируя, получим

(берем одно частное решение , поэтому ), следовательно, .

Подставляя значение  в уравнение (*), получим для определения  следующее уравнение с разделяющимися переменными:

или

.

Интегрируя, имеем

,

откуда

.

Окончательно имеем решение исходного ДУ в виде

.

Ответ: .


Приложения интегрального исчисления в экономике