Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальным уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида

,

(4.18)

левая часть которого представляет собой полный дифференциал некоторой функции , Т.е.

.

(4.19)

Его общий интеграл имеет вид

.

(4.20)

Известно, что полный дифференциал функции  выражается формулой

.

(4.21)

Из равенств (4.19) и (4.21) следует, что

.

(4.22)

Необходимым и достаточным условием того, что левая часть уравнения (4.18) является полным дифференциалом некоторой функции, является выполнение равенства

.

(4.23)

Функция , входящая в формулу (4.20), находится из уравнений (4.22).

 

Пример. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Для данного уравнения

,

.

Так как , то наше уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Следовательно, .

Интегрируя первое уравнение по  ( при этом считается постоянным), находим

,

где  - функция, подлежащая определению.

Дифференцируя по  найденную функцию  и принимая во внимание равенство

,

Получим .

Тогда общее решение данного уравнения будет иметь вид

.

Ответ: .


Приложения интегрального исчисления в экономике