Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА

Если в дифференциальном уравнении (2.1) порядок , то ДУ называется дифференциальным уравнением высшего порядка. Часто решение ДУ высших порядков с помощью специальных подстановок можно свести к решению ДУ более низкого порядка. В этом случае говорят, что уравнение допускает понижение порядка. Рассмотрим три типа таких уравнений.

5.1. Дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной

Рассмотрим уравнение

.

(5.1)

Общее решение ДУ (5.1) получается выполнением последовательных интегрирований, а именно:

,

где  - произвольные постоянные.

Пример. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде

.

Интегрируя это уравнение последовательно три раза, получим его общее решение:

,

,

.

Ответ: .

Дифференциальные уравнения, не содержащие явно искомой функции

Рассмотрим уравнения вида

 или .

(5.2)

Порядок этих уравнений можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию низшую производную данных уравнений (5.2), т.е. , .

Тогда   и ДУ (5.2) примут вид дифференциального уравнения первого порядка:

 или .

(5.3)

Пример. Решить задачу Коши для уравнения

, если , .

Решение. Обозначим , тогда ; подставим значения ,  в данное уравнение, получим

это ДУ первого порядка с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, находим :

.

Возвращаемся к функции :

,

интегрируя, получим  - общее решение.

Используя начальные условия, находим , :

Подставляя значения  и в общее решение, получим частное решение.

Ответ: .


Приложения интегрального исчисления в экономике