Математика примеры решения задач курсовой работы

Составление дифференциальных уравнений

Решение задачи прикладного характера обычно состоит из трех частей:

составления дифференциального уравнения;

решения этого уравнения;

исследования решения.

При решении геометрических задач полезно пользоваться следующей последовательностью действий:

сделать чертеж и ввести обозначения. Например,  - ­уравнение искомой линии и т.п.;

отделить условия, имеющие место в произвольной точке искомого геометрического места, от условий, имеющих место лишь в отдельных фиксированных точках. Другими словами, выделить начальные условия. Их в начале, при составлении дифференциального уравнения, не учитывать;

выразить все упомянутые в задаче величины через ,  и , учитывая при этом геометрический смысл производной;

на основании условия задачи составить дифференциальное уравнение семейства искомых кривых;

найти общее решение полученного дифференциального уравнения, а затем по начальным условиям найти конкретную интегральную кривую (см. пример 1.2 п. 1).

При решении задач с физическим содержанием, так же как и в случае решения геометрических задач, можно рекомендовать следующую последовательность действий:

установить, какому закону подчиняется рассматриваемый процесс;

решить, что выбрать за независимую переменную, например, время , и что - за искомую функцию, например, ;

исходя из условий задачи, определить начальные условия, например, ;

выразить все фигурирующие в задаче величины через , , , используя при этом физический смысл производной как скорость изменения переменной  в изучаемом процессе;

исходя из условия задачи и на основании физического закона, которому подчиняется данный процесс, составить дифференциальное уравнение;

найти общий интеграл дифференциального уравнения;

по начальным условиям найти частное решение.

Пример. На вращающийся в жидкости диск действует замедляющая его движение сила трения, пропорциональная угловой скорости вращения. Найти зависимость угловой скорости от времени, если вначале диск вращался со скоростью 100 оборотов в минуту, а по истечении одной минуты - 60 оборотов в минуту.

Решение. Пусть  - угловая скорость движения диска. Тогда, согласно закона изменения момента количества движения, имеем

,

(*)

,

где   - момент инерции диска;  - момент сил, действующих на диск.

По условию  (), поэтому уравнение (*) принимает вид

, .

Его решение

Пусть   измеряется в оборотах за минуту, а время  - в минутах.

Тогда , т.е. , откуда . Таким образом, требуемая зависимость имеет вид об/мин.