Составление дифференциальных уравнений
Решение задачи прикладного характера обычно состоит из трех частей:
составления дифференциального уравнения;
решения этого уравнения;
исследования решения.
При решении геометрических задач полезно пользоваться следующей последовательностью действий:
сделать чертеж и ввести обозначения. Например,
- уравнение искомой линии и т.п.;
отделить условия, имеющие место в произвольной точке искомого геометрического места, от условий, имеющих место лишь в отдельных фиксированных точках. Другими словами, выделить начальные условия. Их в начале, при составлении дифференциального уравнения, не учитывать;
выразить все упомянутые в задаче величины через
,
и
, учитывая при этом геометрический смысл производной;
на основании условия задачи составить дифференциальное уравнение семейства искомых кривых;
найти общее решение полученного дифференциального уравнения, а затем по начальным условиям найти конкретную интегральную кривую (см. пример 1.2 п. 1).
При решении задач с физическим содержанием, так же как и в случае решения геометрических задач, можно рекомендовать следующую последовательность действий:
установить, какому закону подчиняется рассматриваемый процесс;
решить, что выбрать за независимую переменную, например, время
, и что - за искомую функцию, например,
;
исходя из условий задачи, определить начальные условия, например,
;
выразить все фигурирующие в задаче величины через
,
,
, используя при этом физический смысл производной как скорость изменения переменной
в изучаемом процессе;
исходя из условия задачи и на основании физического закона, которому подчиняется данный процесс, составить дифференциальное уравнение;
найти общий интеграл дифференциального уравнения;
по начальным условиям найти частное решение.
Пример. На вращающийся в жидкости диск действует замедляющая его движение сила трения, пропорциональная угловой скорости вращения. Найти зависимость угловой скорости от времени, если вначале диск вращался со скоростью 100 оборотов в минуту, а по истечении одной минуты - 60 оборотов в минуту.
Решение. Пусть
- угловая скорость движения диска. Тогда, согласно закона изменения момента количества движения, имеем
,
(*)
,
где
- момент инерции диска;
- момент сил, действующих на диск.
По условию
(
), поэтому уравнение (*) принимает вид
,
.
Его решение
Пусть
измеряется в оборотах за минуту, а время
- в минутах.
Тогда
, т.е.
, откуда
. Таким образом, требуемая зависимость имеет вид
об/мин.
Приложения интегрального исчисления в экономике |