Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Нахождение фундаментальной системы решений и общего решения ЛОДУ

Линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) -ого порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

,

(6.8)

где все коэффициенты - числа (в частности, некоторые могут быть и нулями).

Рассмотрим уравнение второго порядка

.

(6.9)

Заметим, что в силу свойств однородных линейных уравнений нам достаточно найти два частных решений, составляющих фундаментальную систему решений уравнения (6.9), чтобы затем найти общее.

Будем искать частное решение уравнения (6.9) в виде

,

(6.10)

где   - число, которое подберем так, чтобы функция (6.10) удовлетворяла уравнению (6.9).

Дифференцируя дважды , найдем , ; подставляя в (6.9), получим

,

сокращая на , имеем

.

(6.11)

Это алгебраическое квадратное уравнение относительно , оно будет называться характеристическим уравнением уравнения (6.9).

Итак, чтобы функция  была частным решением уравнения (6.9), нужно, чтобы  удовлетворяло уравнению (6.11).

Пусть  и   - корни характеристического уравнения(6.11), т.е.

.

Возможны случаи:

1. Корни  и уравнения (6.2.4) действительные и различные, т.е.   (в этом случае дискриминант ).

Тогда формула (6.10) даст два частных решения:

.

Эти частные решения образуют фундаментальную систему решений уравнения (6.9), так как

 (т.к. ).

Следовательно, общее решение уравнения (6.9) будет иметь вид

.

(6.12)

Пример. Решить уравнение .

 

Решение. ЭТО ЛОДУ второго порядка. Составим характеристическое уравнение

.

Находим его корни: , .

Частные решения имеют вид , . .

Тогда будет общим решением.

Ответ: .

2. Корни характеристического уравнении (6.11) действительные и равные, т. е. .

В этом случае  и .

В данном случае формула (6.10) дает нам одно частное решение . Остается найти другое частное решение , образующее вместе с решением  фундаментальную систему решений уравнения (6.9).

Покажем, что таким решением будет функция вида .

Найдем ,

.

Подставим , ,  в уравнение (6.9) и воспользуемся формулой (6.12):

,

,

.

Так как , то  и  образуют фундаментальную систему решений. Таким образом, при  функция

.

(6.13)

есть общее решение уравнения (6.9).

 

Пример. Решить уравнение .

 

Решение. Это ЛОДУ второго порядка. Составим характеристическое уравнение.

.

Находим его корни: .

Частные решения имеют вид , .

Тогда  будет общим решением данного уравнения.

Ответ: .

3. Корни характеристического уравнении (6.11) комплексно-сопряженные, т. е. , ,  (в этом случае ).

Можно показать (подставляя в уравнение (6.9» , что

 и

являются частными решениями уравнения (6.11).

Так как  (), то  и  образуют фундаментальную систему решений, следовательно,

(6.14)

есть общее решение уравнения (6.9).


Приложения интегрального исчисления в экономике