Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ) ­-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

,

(7.1)

где   - действительные числа;  - данная функция.

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка

(7.2)

и соответствующее ему однородное уравнение (ЛОДУ)

.

(7.3)

Пусть   и  - фундаментальная система решений уравнения (7.3), тогда

(7.4)

есть общее решение уравнения (7.3).

Теорема (о структуре общего решения ЛНДУ). Общее решение неоднородного уравнения (7.2) равно сумме общего решения соответствующего однородного (7.3) и частного решения неоднородного уравнения (7.2):

.

Доказательство. Так как  - общее решение уравнения (7.3), то по определению решения эта функция обращает уравнение (7.3) в верное равенство. Так как   - частное решение уравнения (7.2), то функция  также обращает это уравнение в тождество. Имеем два тождества:

 - найдем их сумму:

 или

.

Следовательно,  является общим решением уравнения (7.2).

7.1. Нахождение частного решения ЛНДУ со специальной правой частью

В том случае, когда правая часть дифференциальных уравнений (7.1) и (7.2) в общем случае имеет вид

,

где   и  - многочлены переменной   степеней  и ; ,  - ­действительные числа, используется метод неопределенных коэффициентов (или метод подбора).

Частное решение  дифференциального уравнения (7.2) зависит в каждом конкретном случае от вида функции  и от выражения  (где), которое сравнивается с корнями характеристического уравнения, составленного для соответствующего ЛОДУ (7.3).

Возможны случаи:

1. Если  является корнем кратности  характеристического уравнения

(*)

( - означает сколько раз  совпадет с корнями характеристического уравнения). Тогда частное решение находится в виде

где   и  - многочлены со своими неопределенными коэффициентами, при этом .

Например, если

, то  - многочлен нулевой степени;

, то   - многочлен первой степени;

, то  - многочлен второй степени;

, то   - многочлен 3-й степени;

, то - многочлен степени .

2. Если  не является корнем характеристического уравнения (*), то  и , тогда частное решение  имеет вид .

Пример 1. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Находим общее решение соответствующего ЛОДУ:

.

Его характеристическое уравнение  имеет корни . Общее решение однородного уравнения при равных корнях характеристического уравнения имеет вид

.

Правая часть неоднородного уравнения имеет вид . , - является кратным корнем кратности  характеристического уравнения, , поэтому

.

Дважды дифференцируем :

,

и подставляем полученные выражения в данное уравнение:

.

В результате получим

.

Тогда . А общее решение неоднородного уравнения

.

Ответ: .

Пример 2. Решить задачу Коши для уравнения , если , .

Решение. Находим общее решение соответствующего ЛОДУ

.

Его характеристическое уравнение ,

; ; .

Общее решение ЛОДУ при различных корнях характеристического уравнения имеет вид

.

Правая часть данного уравнения: . , - не являются корнями характеристического уравнения , .

Тогда

.

Дифференцируя, получим

, .

Подставим значения , ,  в данное уравнение, будем иметь

.

Приравнивая коэффициенты при  и  в левой и правой частях, получим систему

Тогда , а   - общее решение данного уравнения.

Найдем .

Используя начальные условия, найдем и  при , , :

Подставляя значения и  в общее решение, получим частное решение:

.

Ответ: .


Приложения интегрального исчисления в экономике