Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Принцип наложения (суперпозиции)

Этот метод основан на следующей теореме:

Теорема. Если правая часть  ЛНДУ (7.1) представляет сумму двух функций, т.е. , то частное решение такого ДУ можно получить как сумму частных решений аналогичных уравнений с правым и частями соответственно  и , т.е.

.

Доказательство. Рассмотрим два уравнения:

  и .

Пусть   и  являются частными решениями этих

уравнений соответственно, тогда имеем два тождества:

  - найдем их сумму:

.

или .

Следовательно,  является решением уравнения

.

Пример. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Так как правая часть уравнения

, то по теореме общее решение данного уравнения будет иметь вид

.

Найдем . Для этого рассмотрим уравнение , его характеристическое уравнение  имеет корни ; .

Тогда

Найдем .

Для этого рассмотрим уравнение

Правая часть .

Так как  - является простым корнем характеристического уравнения , тогда

.

Подставим , ,  в рассматриваемое уравнение :

,

используя условие равенства многочленов, получим

Таким образом, получим .

Найдем .

Для этого рассмотрим уравнение .

Правая часть . Для .

  - не является корнем характеристического уравнения , поэтому

;

; ; .

Значения , ,  подставим в уравнение .

Получим

.

Таким образом, получаем

Тогда общее решение данного уравнения:

.

Ответ:


Приложения интегрального исчисления в экономике