Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОБЩЕГО ВИДА. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Понятие о системе дифференциальных уравнений и ее решении

Совокупность соотношений вида

(8.1)

где   - искомые функции от независимой переменной , называется системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Всякая совокупность  функций

,

(8.2)

определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале , называется решением системы (8.1) в этом интервале, если она обращает все ДУ системы (8.1) в тождества, справедливые при всех значениях .

Процесс нахождения решений системы (8.1) называется интегрированием этой системы.

Пример. Рассмотрим систему

,

(*)

Эта система имеет решение

, ,.

(**)

Действительно, подставляя (**) в систему (*), получим тождества

 .

Нормальная форма системы дифференциальных уравнений

СДУ первого порядка

 

(8.3)

разрешенная относительно производных от искомых функций, называется системой дифференциальных уравнений в нормальной форме или нормальной системой.

Если при помощи некоторых преобразований из данной системы удается получить интегрируемое уравнение, то оно называется интегрируемой комбинацией.

Пример. Пусть дана система

(8.4)

Решение. Система (8.4) - нормальная. Разделив первое ДУ на второе, получим интегрируемую комбинацию:

,

Разделяя переменные и интегрируя, получим

.

(8.5)

Вычитая почленно второе уравнение системы (8.4) из первого, найдем еще одну интегрируемую комбинацию:

.

Разделяя переменные и интегрируя, получим

.

(8.6)

Совокупность соотношений (8.5) и (8.6) в общей теории СДУ называется общим интегралом системы.

Ответ: , .


Приложения интегрального исчисления в экономике