Задача Коши для нормальной системы
Задача Коши для нормальной системы (8.3) ставится так:
найти решение 
, 
,…,
,
удовлетворяющее начальным условиям (условиям Коши),
|
|
(8.7) |
,где 
- заданные числа.
Геометрически находится интегральная кривая, про ходящая
через заданную точку 
.
8.4. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы
Теореме
Пикара. Если правые части системы (8.3) непрерывны в некоторой окрестности начальной
точки и имеют непрерывные в этой окрестности частные производные
по 
, то система (8.3) имеет
единственное решение (8.2), определенное в некоторой окрестности точки 
и удовлетворяющее начальным условиям (8.7).
Условия теоремы Пикара, в
частности, заведомо выполнены, если правые части нормальной системы есть многочлены
относительно , коэффициенты которых непрерывны
в окрестности начального значения . При этом начальные значения 
можно брать произвольно.
9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НОРМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ИСКЛЮЧЕНИЯ
Пусть
задана система 
уравнений (8.3):
Метод
исключений состоит в том, что из системы (8.3) при помощи дифференцирования одного
из уравнений и замены 
исключают все искомые функции, кроме одной, для которой
получается уравнение -го порядка. Найдя общее решение этого уравнения, находим
остальные неизвестные функции без дальнейших квадратур.
Пример. Рассмотрим систему
|
|
(9.1) |
Решение. Дифференцируя первое уравнение и пользуясь вторым и третьим, получаем
,
но
, поэтому 
или
|
|
(9.2) |
.Получим еще одно ДУ с одной неизвестной функцией:
или 
. Исключим из первых двух ДУ системы (9.1). Вычитая почленно первое
ДУ из второго, имеем
,
откуда
|
|
(9.3) |
,Проинтегрировав последовательно ДУ (9.2) и
(9.3), найдем 
и . Из уравнения (9.2) найдем
|
|
(9.4) |
Подставляя в (9.3), имеем
,
откуда
.
Наконец,
из 
, найдем
.
Ответ:
, , 
.