Задача Коши для нормальной системы
Задача Коши для нормальной системы (8.3) ставится так:
найти решение
,
,…,
,
удовлетворяющее начальным условиям (условиям Коши),
,
(8.7)
где
- заданные числа.
Геометрически находится интегральная кривая, про ходящая через заданную точку
.
8.4. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы
Теореме Пикара. Если правые части системы (8.3) непрерывны в некоторой окрестности начальной точки
и имеют непрерывные в этой окрестности частные производные по
, то система (8.3) имеет единственное решение (8.2), определенное в некоторой окрестности точки
и удовлетворяющее начальным условиям (8.7).
Условия теоремы Пикара, в частности, заведомо выполнены, если правые части нормальной системы есть многочлены относительно
, коэффициенты которых непрерывны в окрестности начального значения
. При этом начальные значения
можно брать произвольно.
9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НОРМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ИСКЛЮЧЕНИЯ
Пусть задана система
уравнений (8.3):
Метод исключений состоит в том, что из системы (8.3) при помощи дифференцирования одного из уравнений и замены
исключают все искомые функции, кроме одной, для которой получается уравнение
-го порядка. Найдя общее решение этого уравнения, находим остальные неизвестные функции без дальнейших квадратур.
Пример. Рассмотрим систему
(9.1)
Решение. Дифференцируя первое уравнение и пользуясь вторым и третьим, получаем
,
но
, поэтому
или
.
(9.2)
Получим еще одно ДУ с одной неизвестной функцией:
или
. Исключим
из первых двух ДУ системы (9.1). Вычитая почленно первое ДУ из второго, имеем
,
откуда
,
(9.3)
Проинтегрировав последовательно ДУ (9.2) и (9.3), найдем
и
. Из уравнения (9.2) найдем
.
(9.4)
Подставляя в (9.3), имеем
,
откуда
.
Наконец, из
, найдем
.
Ответ:
,
,
.
Приложения интегрального исчисления в экономике |