Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Задача Коши для нормальной системы

Задача Коши для нормальной системы (8.3) ставится так:

найти решение , ,…,,

удовлетворяющее начальным условиям (условиям Коши),

,

(8.7)

где   - заданные числа.

Геометрически находится интегральная кривая, про ходящая через заданную точку .

8.4. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы

Теореме Пикара. Если правые части системы (8.3) непрерывны в некоторой окрестности начальной точки  и имеют непрерывные в этой окрестности частные производные по , то система (8.3) имеет единственное решение (8.2), определенное в некоторой окрестности точки   и удовлетворяющее начальным условиям (8.7).

Условия теоремы Пикара, в частности, заведомо выполнены, если правые части нормальной системы есть многочлены относительно , коэффициенты которых непрерывны в окрестности начального значения . При этом начальные значения  можно брать произвольно.

9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НОРМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ИСКЛЮЧЕНИЯ

Пусть задана система  уравнений (8.3):

Метод исключений состоит в том, что из системы (8.3) при помощи дифференцирования одного из уравнений и замены  исключают все искомые функции, кроме одной, для которой получается уравнение -го порядка. Найдя общее решение этого уравнения, находим остальные неизвестные функции без дальнейших квадратур.

Пример. Рассмотрим систему

(9.1)

Решение. Дифференцируя первое уравнение и пользуясь вторым и третьим, получаем

,

но , поэтому

или

.

(9.2)

Получим еще одно ДУ с одной неизвестной функцией:  или . Исключим  из первых двух ДУ системы (9.1). Вычитая почленно первое ДУ из второго, имеем

,

откуда

,

(9.3)

Проинтегрировав последовательно ДУ (9.2) и (9.3), найдем  и . Из уравнения (9.2) найдем

.

(9.4)

Подставляя в (9.3), имеем

,

откуда

.

Наконец, из , найдем

.

Ответ: , , .


Обучение в автошколе челябинск обучение вождению.
Приложения интегрального исчисления в экономике