Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОДНОРОДНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА

Однородные линейные системы с постоянными коэффициентами всегда интегрируются в элементарных функциях, поэтому они представляют особый интерес для изучения.

Пусть дана однородная линейная система

 

(10.1)

где   - действительные числа, , .

Будем искать решение системы (10.1) в виде

,

(10.2)

где   - некоторое число, а числа  не равны одновременно нулю.

Подставляя (10.2) в (10.1), сокращая  и группируя члены, получим следующую систему уравнений для нахождения чисел :

 

(10.3)

Эта система имеет интересующее нас ненулевое решение относительно  только в том случае, если ее определитель равен нулю, т.е. если  является корнем уравнения

 .

(10.4)

Уравнение (10.4) называется характеристическим, а его корни характеристическими числами системы (10.1).

Рассмотрим случай, когда все корни  характеристического уравнения действительные и различные. В этом случае, подставляя поочередно каждый корень  () вместо  в (10.2), решая систему (l0.3), найдем значения (i = 1,2,3, ... , п), не равные одновременно нулю.

Получим  частных решений:

 .

(10.5)

Беря линейные комбинации решений (10.5) с произвольными постоянными , получим общее решение системы (10.1):

Кратко: , .

Пример. Рассмотрим систему

Решение. Найдем решение данной системы в виде

, .

Составим характеристическое уравнение:

.

Оно имеет корни , .

Построим частное решение, соответствующее корню .

Числа   и  найдем из системы

Система сводится к решению одного уравнения:

следовательно, одно из чисел ,  можно выбрать произвольно.

Положив , получим .

Имеем частное решение: , .

Аналогично находим частное решение, соответствующее характеристическому числу :

, ,

Тогда общее решение имеет вид:

,

.

Ответ: , .


Приложения интегрального исчисления в экономике